Вимушенi коливання матерiальної точки без опору середовища. Резонанс

Якщо опору немає, то n = 0 i рiвняння коливань буде таким:

m = - +Hsin(pt+δ);

+ = sin(pt+δ), (5.30)

де = c/m; h = H/m.

Розв’язок цього рiвняння :

(5.31)

Висновок: при вiдсутностi опору пiд дiєю перiодичної вимушуючої сили Q = Hsin(pt+δ) матерiальна точка здiйснює рух, що є сумою двох гармонiчних коливань: першого - з власною частотою ω₀ вiльних коливань, другого - з частотою р вимушуючої сили.

Розв’язок (5.31) втрачає змiст у випадку так званого резонансу, коли р = ω₀, тобто коли частота вимушуючої сили дорiвнює частотi вiльних незатухаючих коливань.

Частинний розв’язок рiвняння (5.30) при р = ω₀ можна знайти у виглядi:

x₂ = Btcos(ω₀t+δ), В = - h/(2 ). (5.32)

Загальний розв’язок рiвняння (5.31) в цьому випадку буде таким:

або

(5.33)

Висновок: рух матерiальної точки при резонансi є результатом накладання вiльних i вимушених коливань, як i в тому випадку, коли ω₀ не дорiвнює р. Частота i перiод вимушених коливань при резонансi дорiвнюють частотi ω₀ i перiоду Т = 2π/ω₀ вiльних коливань матерiальної точки. Фаза вимушених коливань (ω₀t + δ - π/2) вiдстає вiд фази вимушуючої сили (ω₀t+δ) на величину π/2. Амплiтуда вимушених коливань зростає пропорцiонально часу.

Зауваження. Для закріплення матеріалу §5 (пунктів 5.3 і 5.4) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 32.81, 32.82, 32.83, 32.84, 32.86, 32.94, 32.98, 32.104, 32.105;

2) № 32.87, 32.88, 32.89, 32.90, 32.91, 32.96, 32.97, 32.99, 32.100, 32.103;

3) № 32.93, 32.101, 32.102, 32.107.

Рекомендується розв’язати також задачі № 686, 689, 690, 692, 693, 697, 700 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. М. А. Бражниченко. – М., Высшая школа, 1986”.

Питання для самоконтролю

1. Які коливання матеріальної точки є вимушеними при наявності сил опору?

2. Запишіть формулу вимушуючої сили та поясніть її основні параметри і характеристики.

3. Який вигляд має диференціальне рівняння вимушених коливань при наявності сил опору?

4. Яким буде загальний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань при наявності сил опору?

5. Запишіть частинний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань при наявності опору та формули, за допомогою яких визначаються числові параметри в цьому розв’язку.

6. Яким буде загальний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань при наявності опору в залежності від співвідношення ω₀ і n?

7. Як обчислюють сталі інтегрування в одержаних рівняннях вимушених коливань при наявності сил опору?

8. За якої умови результуючий рух матеріальної точки складається лише з вимушених коливань? Запишіть рівняння такого руху.

9. При якій частоті вимушуючої сили амплітуда А_с вимушених коливань максимальна?

10. Як залежить амплітуда вимушених коливань від параметрів p i n?

11. Якими будуть частота і період вимушених коливань матеріальної точки при наявності сил опору?

12. Як визначається зсув фаз (різниця фаз) ε вимушених коливань і вимушуючої сили?

13. Яким буде диференціальне рівняння вимушених коливань матеріальної точки при відсутності опору?

14. Запишіть розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань при відсутності сили опору. Який рух виконує матеріальна точка в цьому випадку?

15. Що називають резонансом?

16. Який вигляд має розв’язання диференціального рівняння вимушених коливань у випадку резонансу?

17. Результатом складання яких рухів є рух матеріальної точки при резонансі?

18. Якими є частота і період вимушених коливань точки при резонансі?

19. Яке співвідношення між фазами вимушених коливань і вимушуючої сили при резонансі?

20. Як змінюється амплітуда вимушених коливань при резонансі?