Т критерий Стьюдента

Пусть проверяемая гипотеза H₀ состоит в том, что X₁=M, а альтернативная гипотеза H₁ состоит в том, что X₁¹M.

Если это известное значение равно M, то , где S_x – это выборочное стандартное отклонение.

Показано, что если H₀ справедлива, то t в выражении имеет t-распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы. Если выбрать уровень значимости (вероятность отбросить нулевую гипотезу) равным a, то т. к. распределение Стьюдента симметрично, (1-a) часть площади под кривой этого распределения будет заключена между точками , которые равны друг другу по абсолютной величине. Следовательно, все значения меньше отрицательного и больше положительного значения для t-распределения при выбранном уровне значимости будут составлять критическую область. Попадание выборочного значения t в эту область приводит к принятию альтернативной гипотезы.

Итак, пусть в нашем примере известно, что диаметр раковины моллюска равен 18,2мм. В нашем распоряжении оказалась выборка из 50 вновь найденных раковин, для которых x=18,9мм, а S_x=2,18мм. Проверим 18,9=18,2, против 18,9¹18,2.

Если уровень значимости выбрать 0,05, то критическое значение t=±2,01. Отсюда следует, что нулевую гипотезу можно отклонить в пользу альтернативной на уровне значимости 0,05. Т.е. можно утверждать, что диаметр раковин зависит от места обитания.

Рассмотрим теперь случай, когда необходимо сравнить между собой средние двух генеральных совокупностей. Проверяемые гипотезы выглядят так: H₀: X₁- X₂=0, H₁: X₁- X₂¹0. Предполагается, что дисперсии в обеих группах равны. Тогда:

, где .

Пусть при измерении листьев одной и той же популяции растений в течение двух сезонов получены следующие результаты: X₁=53,5; ; n₁=485; X₂=50,2; ; n₂=325. Оценим H₀: X₁- X₂=0 на уровне значимости 0,01.

Табличное значение t=2,58. Поэтому нулевая гипотеза о равенстве средних значений должна быть отвергнута на выбранном уровне значимости.

Нужно сделать некоторые замечания, связанные с предположениями, используемыми при построении t-критерия. Прежде всего, показано, что нарушения допущения о нормальности для H₀: X₁- X₂=0 имеют незначительное влияние на уровень значимости и мощность критерия для n³30. Несущественно также и нарушение предположения об однородности дисперсий обеих генеральных совокупностей, из которых берутся выборки, но только в том случае, когда объемы выборок равны.

Если же n1¹n2, а дисперсии обеих выборок отличаются друг от друга: .