Взаимное расположение двух плоскостей
Параллельные плоскости. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Пример(рис. 31). Дано: плоскость a (m || n); точка АÏ a ; Построить плоскость b ||a; b А.
Построение: 1. В плоскости a проведем произвольную линию l, пресекающую прямые m и n.
2. Через точку А проведём две пересекающиеся прямые
l и m, соответственно параллельные линиям l и m. Построенные линии определят на чертеже искомую плоскость b.
Пересекающиеся плоскости. Для такого расположения двух плоскостей обычно решается следующая позиционная задача: даны две плоскости a и b. Требуется построить их линию пересечения. Сначала рассмотрим частные случаи этой задачи, когда одна из плоскостей является проецирующей плоскостью (рис. 32) или плоскостью уровня (рис. 33). В обоих случаях наличие на чертеже вырожденной проекции плоскости b частного положения определяет одну из проекций линии пересечения плоскостей (собирательное свойство вырожденной проекции плоскости). Далее строится недостающая проекция этой линии.
Например, на рис. 32 линия пересечения обозначена MN и её горизонтальная проекция M1N1 определяетсягоризонтальной вырожденной проекцией b1 плоскости b.
Если одна из заданных плоскостей является плоскостью уровня (например, на рис. 33 плоскость b ççП1), то пересечение её с плоскостью a общего положения произойдет по горизонтали h плоскости a. Поэтому на эпюре должны быть выполнены следующие условия: h2 º b2 (собирательное свойство вырожденной проекции b2) и h1 çç h1 (все горизонтали плоскости параллельны).
Собирательное свойство проецирующей плоскости используются в алгоритме построения линии пересечения двух плоскостей общего положения a и b (рис. 34):
1. Строим произвольную плоскость – посредник g.
2. Строим линию a пересечения плоскостей a и g.
3. Строим линию b пересечения плоскостей b и g.
4. Находим точку М пересечения линий а и b. Эта точка принадлежит искомой линии пересечения плоскостей a и b.
5. Строим новую плоскость – посредник d и повторяем пункты 2-4 алгоритма для нахождения второй точки N.
6. Проводим линию MN.
На рис. 34 показана схема, алгоритм и пример решения такой задачи. При этом использованы две горизонтальные плоскости - посредники g и d, которые пересекают плоскость a по горизонталям a и a, а плоскость b - по горизонталям b и b. Заметим, что в качестве вспомогательных плоскостей можно использовать любую проецирующую плоскость.
Рекомендуется проводить вспомогательные плоскости параллельно линиям, задающим плоскость, или проходящими через указанные прямые (рис. 35 и 36).
5.5. Взаимное расположение прямой линии и плоскости
Прямая линия может располагаться на плоскости, быть параллельной ей или пересекаться с этой плоскостью. Построение прямой линии, лежащей в плоскости, рассмотрено ранее, в подразделе 5.2.
Прямая линия, параллельная плоскости. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.
Пример. Построитьнедостающую проекцию A2B2 прямой АВ(A1B1), параллельной плоскости a(RMN).
Построение:
1. l || АВ (l1 || A1B1); l Ì a.
2. A2B2 úú l2.
Прямая линия, пересекающая плоскость. В этом случае прямая и плоскость будет иметь одну общую точку, нахождение которой на чертеже является одной из позиционных задач НГ.
Сначала рассмотрим два частных случая (рис. 38 и 39), когда одна из фигур (прямая или плоскость) является проецирующей.
На рис. 38 показана фронтально проецирующая прямая l и плоскость a (АВС) общего положения. Вырожденная проекция l2 прямой l обладает собирательным свойством, следовательно, фронтальная проекция К2 точки К пересечения прямой l с плоскостью a совпадает с вырожденной проекцией прямой (К2ºl2). Проведя в плоскости a через точку К произвольную прямую m, находим проекцию К1. Далее конкурирующими точками 1 и 2 оцениваем видимость прямой l относительно плоскости a.
На рис. 39 показана горизонтально проецирующая плоскость b (mÇn) и прямая l общего положения. Горизонтальная вырожденная проекция b1 плоскости b обладает собирательным свойством, следовательно, К1 = b1Ç l1. По линии связи находим проекцию К2.
На рис. 40 показан общий случай пересечения прямой и плоскости. Для нахождения точки пересечения К используем вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость b, проходящая через прямую l. Строим прямую MN – линию пересечения плоскостей a и b. Далее определяем точку К – пересечение линий l и MN. Конкурирующими точками оцениваем видимость прямой l относительно плоскости a.
Прямая линия, перпендикулярная плоскости(рис. 41).Прямая перпендикулярна плоскости {р ^ a (h Ç f)}, если её горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости (р1 ^ h1), а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости (p2 ^ f2).
Пример. Определить расстояние от точки А до плоскости a (QEÇEF).
Алгоритм решения (рис. 42):
1. Строим горизонталь h плоскости
(h2 úú 0x).
2. Строим фронталь f плоскости
(f1 úú 0x).
3. Через точку А, перпендикулярно плоскости a проводим прямую р: р1 ^ h1; p2 ^ f2.
4. Строим точку К пересечения прямой р с плоскостью a.
5. Определяем НВ отрезка АК и оцениваем видимость линии р относительно плоскости a.
Взаимно перпендикулярные плоскости. Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости.
Пример. Через прямую l провести плоскость b ^ a (m Ç n).
Построение. Плоскость b может быть задана двумя пересекающими прямыми: l Ç p, где линия l задана, а линия р ^a. Для построения линии р необходимо предварительно построить горизонталь h и фронталь f плоскости a.
6. Преобразование ортогонального чертежа
Дата добавления: 2020-10-01; просмотров: 510;