Позиционные задачи на кривых поверхностях
Все позиционные задачи на кривых поверхностях решаются каркасным способом, поэтому построение линий каркаса является ключевой задачей этого метода.
Задача 1. Построение каркаса поверхности. В общем случае, когда линии каркаса поверхности являются пространственными кривыми, эта задача может быть трудоёмкой. Однако на практике чаще используются простейшие каркасы: линейчатый или циклический (см. примеры для задач 2 и 3).
Задача 2. Построить недостающую проекцию линии l, лежащей на поверхности Ф.
Алгоритм решения задачи:
1. Строим каркас поверхности Ф. Линии каркаса располагают произвольно, но с равномерным заполнением поверхности.
2. Отмечаем точки пересечения заданной проекции прямой l, с проекциями линий каркаса.
3. Строим недостающие проекции указанных точек и соединяем их плавной кривой.
В качестве примеров на рис. 86, а показано построение недостающей горизонтальной проекции l1, а на рис. 86, б – фронтальной проекции l2 линии l, расположенной на поверхности конуса вращения. В первом случае использован циклический каркас, а во втором случае – линейчатый каркас этой поверхности. При нахождении фронтальной проекции точки 3 (см. рис. 86, б) использована окружность с циклического каркаса.
Задача 3. По заданной проекции точки, лежащей на поверхности Ф, построить недостающую проекцию этой точки.
Алгоритм решения в общем случае:
1. Через заданную проекцию точки проводим одноименную проекцию вспомогательной линии t, расположенной на поверхности Ф.
2. Каркасным способом строим недостающую проекцию этой линии (см. задачу 2) и на ней находим недостающую проекцию точки.
В качестве примера рассмотрим построение точек А (А1) и В (В2), расположенных на поверхности Ф – коноида (см рис. 76), заданного определителем: ГЧ (l, m, ň, a ); ÀЧ (l i çç a; l i Ç m;
l i Ç ň; i=1 ¸ k).
Недостающую проекцию А2 точки А строим проведением через неё линии каркаса l¢ (см. рис. 87, б). Сначала через А1 проводим l¢1çça1. Затем по точкам пересечения 1 и 2 строим l¢2 и на ней находим точку А2.
Построение недостающей проекции В1 точки В (см. рис.87, в) нельзя выполнить аналогично точке А, т. к. на плоскости П2 неизвестно направление линии каркаса, проходящей через эту точку (прямой, параллельной плоскости a). Поэтому сначала на поверхности Ф строим вспомогательную линию t (t2 ' B2). Для простоты проекция t2 проведена в виде прямой линии (плоская кривая). Далее строим произвольный каркас поверхности (l i; i=1 ¸ 5). Построение линий каркаса l i следует начать на плоскости проекций П1, т.к. l1i çça1.С помощью каркаса по точкам 1 ¸ 5 находим недостающую проекцию t1 вспомогательной линии t, а на ней - искомую проекцию В1 точки В.
Задача 4. Построить фигуру сечения поверхности Ф плоскостью a.
В случае, когда плоскость a, является проецирующей (рис. 88), решение задачи сводится к построению недостающей проекции m1 линии m, расположенной на поверхности Ф (см. задачу 2), т. к. на эпюре имеется отрезок m2 = A2B2 – вырожденная проекция фигуры сечения, находящийся на вырожденной проекции a2 плоскости a и ограниченный линиями изображения поверхности.
При построении замкнутой линии m1 рекомендуется строить не менее восьми точек.
Рассмотрим пять вариантов сечения конуса вращения плоскостью (рис. 89, 90):
а) сечение по окружности, когда секущая плоскость располагается перпендикулярно оси вращения конуса (a ^ i);
б) сечение по двум образующим, когда плоскость проходит через вершину конуса (a ' S);
в) сечение по эллипсу, когда плоскость не перпендикулярна оси вращения и может пересекать все образующие конуса;
г) сечение по параболе, когда плоскость проходит параллельно одной из образующих конуса (a çç l);
д) сечение по гиперболе, когда плоскость проходит параллельно двум образующим конуса (a çç l, l¢).
Для случая, когда секущая плоскость a занимает общее положение, рекомендуется выполнить преобразование чертежа (например, замену плоскости проекций), чтобы секущая плоскость стала проецирующей (рис. 91).
Алгоритм построения:
1. Расположив ось новой системы х14 ^ h1 (гпг), строим на плоскости П4 проекцию тора и вырожденную проекцию a 4 плоскости a. При построении a 4 можно использовать две вспомогательные точки М и Т.
На плоскости П4 находим характерные точки: точку А, имеющую z max, и точки 1, 1¢, имеющие z = 0. Точка А расположена в общей плоскости симметрии g. Эта плоскость проходит через ось вращения тора перпендикулярно горизонтали h плоскости a (см. вырожденную горизонтальную проекцию g1 этой плоскости). Построение проекции А1 выполняется по линии связи, а проекции А2 – перенесением координаты zA из плоскости П4 на плоскость П2.
2. Построение точек В и С, расположенных на линиях фронтального очерка тора, осуществляется с помощью фронтальной плоскости b , параллельной плоскости П2 и проходящей через ось вращения тора (см. вырожденную проекцию b1 этой плоскости). Строим фронталь f ¢ = aÇb. При этом f ¢2 çç f2. Проекции В2 и С2 точек В и С находим в пресечении линии f ¢2 с линиями фронтального очерка тора.
3. Построение промежуточных точек (например, точек 2, 2¢) можно осуществлять произвольным их выбором на плоскости П4. Затем с помощью окружности (параллели) m строим горизонтальные проекции выбранных точек, а с помощью координаты z (см. отрезки, помеченные на чертеже тремя штрихами) строим фронтальные проекции этих точек.
4. Для соблюдения симметрии строимой фигуры сечения (особенно её фронтальной проекции) рекомендуется построить линию симметрии АК и точки В¢ и С¢, симметричные ранее найденным точкам В и С, относительно этой прямой (см. отрезки, помеченные на чертеже волнистыми линиями и крестиками).
5. Найденные проекции точек соединяем плавной кривой с учётом видимости линии сечения. Граница видимости лини сечения на плоскости П2 определяется очерковыми точками В и С.
Задача 5. Построить точку К пересечения поверхности Ф с линией l.
Алгоритм решения в общем случае (рис. 92):
1. Через линию l проводим вспомогательную поверхность S.
2. Строим линию m пересечения поверхностей Ф и S:
m = Ф Ç S.
3. Определяем искомую точку: К = l Ç m.
В общем случае точка К может быть не единственной.
Рассмотрим частные случаи этой задачи, когда линия l является прямой линией. Тогда в качестве поверхности - посредника S может быть использована плоскость a.
На рис. 93 показано применение фронтальной плоскости a для построения точек М и N пересечения тора Ф с прямой l.
На рис. 94 показан рациональный способ применения плоскости a общего положения, проходящей через прямую l и вершину S конуса. Тогда сечение конуса произойдёт по простейшей фигуре - D SAB. Алгоритм решения задачи:
1. Через произвольную точку К, расположенную на прямой l, и вершину S конуса проводим прямую m. Тогда прямыми l и m определяется вспомогательная плоскость a (l Ç m).
2. Строим точки Q и T пересечения прямых l и m с плоскостью основания конуса.
3. Находим точки А и В пересечения линии QT с окружностью основания конуса и соединяем их с вершиной S конуса. Получаем фигуру сечения - D SAB.
Находим точки M, N = l Ç SAB.
Аналогичное решение показано на рис. 95. Здесь вспомогательная плоскость a проведена через прямую l, параллельно образующим цилиндра. Для этого через произвольную точку К, лежащую на заданной прямой l, проводим линию m, параллельно образующим цилиндра В этом случае рассечение цилиндра произойдёт по параллелограмму ABCD, который строим по точкам Q и T пересечения прямых l и m с плоскостью нижнего (или верхнего) основания цилиндра.
Иногда для получения рационального решения задачи по определению точек пересечения кривой поверхности с прямой линией используется преобразование чертежа.
На рис. 96 показано применение метода замены плоскости проекций П2 на П4, в результате чего построены новая проекция l4 прямой l и неискажённая проекция с4 окружности с – фигуры сечения сферы вспомогательной плоскостью a. Далее найдены проекции А4 и В4 искомых точек пересечения сферы с прямой l (А4 , В4 = с4 Ç l4) и по линиям связи построены проекции этих точек в исходной системе плоскостей проекций.
На рис. 97 показано применение метода замены плоскости проекций П1 на П4 для определения точек А и В пересечения цилиндра вращения с прямой l. Здесь ось х24 новой системы
плоскостей проекций расположена перпендикулярно оси вращения цилиндра. В результате чего цилиндр отобразился на плоскость П4 вырожденно – в виде окружности и там легко определяются искомые точки.
На рис. 98 показано использование метода вращения для нахождения точек А и В пересечения тора с прямой l. Указанный вариант преобразования возможен, если прямая l пересекается с осью i вращения поверхности. После поворота прямой l относительно оси i до положения, когда прямая окажется в плоскости a главного меридиана поверхности тора, легко определяются фронтальные проекции искомых точек пересечения сначала в повёрнутом положении (А2 и В2), а затем и в исходном положении (А2 и В2).
На рис. 99 показан пример построения точек пересечения тора и окружности. Алгоритм построения:
1. Через точку О¢ - центр заданной окружности с проводим перпендикуляр к плоскости этой окружности и находим точку О пересечения этой прямой с осью i вращения тора.
2. Из найденной точки О как из центра строим сферу радиуса R С, проходящую через окружность с.
3. Строим окружность m – линию пересечения тора и сферы.
4. Находим точки А и В пересечения двух окружностей (А, В = с Ç m). Найденные точки и будут решением поставленной задачи.
Задача 6. Построить линию m пересечения двух поверхностей Ф и W.
Алгоритм решения задачи в общем случае (рис. 100):
1. Строим вспомогательную поверхность S. Выбор формы и положения этой поверхности в пространстве обусловлен необходимостью рассечения ею двух заданных поверхностей Ф и W по простейшим линиям каркаса.
2. Строим линию (линии) каркаса поверхности Ф:
q, q¢ = Ф Ç S.
3. Строим линию каркаса поверхности W: t = W Ç S.
4. Определяем точки, принадлежащие искомой линии m: 1, 2,… = q, q¢ Ç t.
5. Изменяем положение или размеры поверхности S (S¢), и повторяем пункты 2¸4 алгоритма до тех пор, пока не построим необходимое число точек (не менее восьми точек).
6. Соединяем построенные проекции точек лекальными кривыми с учётом видимости
линии m. Границами видимости линии m являются точки, расположенные на очерке той поверхности, которая располагается ближе к наблюдателю. Указанные очерковые точки должны быть предварительно построены.
В зависимости от вида вспомогательной поверхности S различают два метода построения линии пересечения кривых поверхностей:
1. Плоских сечений, когда поверхность S является плоскостью.
2. Секущих сфер, когда поверхность S является сферой.
Метод плоских сечений. Этот метод применяют, если две пересекающиеся поверхности можно рассечь плоскостью – посредником по простейшим линиям каркаса (рис. 101).
На рис.102 показано построение линии m пересечения конуса вращения Ф и сферы W с применением горизонтальных плоскостей – посредников a. Сначала определяем граничные уровни возможных сечений. Для этого в общей плоскости симметрии g находим экстремальные точки: точку А, имеющую аппликату zmax и точку В (z min). Верхний предельный уровень рассечения должен располагаться ниже точки А, а нижний предельный уровень рассечения должен проходить выше точки В. В каждом уровне рассечения строим две окружности: q на сфере и t на конусе. Находим точки 1 и 2 их пересечений (сначала на плоскости П1, а затем по линии связи на П2). На фронтальную плоскость проекций линии пересечения поверхностей проецируется параболой (линия m2). Границами видимости горизонтальной проекции m1 являются точки С и D , расположенные на экваторе сферы. Эти точки определяем рассечением плоскостью a¢.
На рис. 103 показан пример построения линии пересечения конуса и цилиндра вращения, оси которых являются скрещивающимися прямыми. Для решения задачи можно применять горизонтальные плоскости-посредники, рассекающие цилиндр по двум образующим, а конус - по окружности. Точки пересечения указанных линий определят точки, принадлежащие линии пересечения этих поверхностей.
Однако можно идти и другим путём. Проекция цилиндра на П2 в виде окружности является вырожденной. На ней располагаются фронтальные проекции всех точек цилиндрической поверхности, включая точки, принадлежащие линии m пересечения рассматриваемых поверхностей. Следовательно, задача сводится к построению по заданной проекции m2 линии m, расположенной на поверхности конуса,ее недостающей проекции m1. Она решается каркасным способом. См., например, построение точек 1 и 2 с помощью окружности t на конусе. Границами видимости линии m на плоскости П1 являются точки С и D, расположенные на горизонтальной очерковой образующей цилиндра.
Метод вспомогательных сферимеет две разновидности: метод концентрических и метод эксцентрических сфер.
1. Метод концентрических сфер применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются и образуют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Метод сфер использует следующее свойство: две соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружностям – общим параллелям. Соосными называются поверхности вращения, оси которых совпадают.
Рассмотрим сначала взаимодействие двух соосных поверхностей вращения, одна из которых является сферой. На рис. 104. показана фронтальная проекция Ф2 конуса вращения и двух соосных с ним сфер: сферы S, вписанной в конус и сферы S 1, пересекающейся с конусом. В первом случае сфера S и конус Ф касаются друг друга по окружности q, а во втором случае пересекаются между собой по двум окружностям q ¢и q². При этом плоскости указанных окружностей перпендикулярны оси i конуса. На рис. 105 показано взаимодействие цилиндра вращения W с соосными с ним сферами. Это взаимодействие осуществляется по окружности t касания для сферы S, вписанной в цилиндр, и по двум окружностям t ¢ и t ² для сферы S 1, пересекающей цилиндр. Плоскости указанных окружностей перпендикулярны оси j цилиндра.
На рис. 106. показано применения метода концентрических сфер для построения линии пересечения конуса и цилиндра. Алгоритм построения:
1. Находим точку пересечения осей: О = i Ç j и общую плоскость симметрии g (i Ç j) çç П2.
2. Строим сферу минимального радиуса, вписанную в одну из поверхностей (в нашем случае в конус) и пересекающую другую поверхность (цилиндр).
Радиус сферы R min можно определить как наибольшую длину одного из двух перпендикуляров ОК или ОТ, построенных из точки О к очерковым образующим конуса и цилиндра (рис. 106, а).
3. Строим окружность q касания конуса и сферы R min (Рис. 106, б)
4. Строим две окружности t и t¢ пересечения цилиндра и сферы R min
5. Строим точки: 1 (1¢), 2 (2¢) = q Ç t, t¢, принадлежащие линии пересечения конуса и цилиндра.
6. Увеличиваем радиус сферы (рис. 106, в).
7. Строим две окружности q ¢ и q ² пересечения конуса и новой сферы.
8. Строим две окружности t ² и t ¢² пересечения цилиндра и новой сферы.
9. Строим точки: 3 (3¢), 4 (4¢), … = q ¢,q ¢¢Ç t ¢¢, t ¢¢¢, принадлежащие линии пересечения конуса и цилиндра.
10. Повторяем пункты 6¸9 алгоритма до получения необходимого количества точек, принадлежащих линии пересечения (рис. 106, г). Максимально возможный радиус вспомогательной сферы определяется расстоянием от точки О до наиболее удаленной точки пересечения линий фронтальных очерков исходных поверхностей (точки В или В¢).
11. Построение горизонтальных проекций линий пересечения осуществляется с помощью окружностей каркаса конуса. При этом необходимо определить точки С (С¢) и D (D¢), расположенные на линиях горизонтального очерка цилиндра, т. к. эти точки являются границами видимости линий пересечения на плоскости П1. Определение горизонтальных проекций указанных точек осуществляется построением окружности на конусе, лежащей в горизонтальной плоскости a. Эта плоскость проходит через ось цилиндра и рассекает эту поверхность по очерковым образующим.
Дата добавления: 2020-10-01; просмотров: 442;