Тема 2.6. Изгиб. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Основные правила построения эпюр

Знать порядок построения и контроля эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Уметь строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить, предварительно разделив балку на участки нагружения и составляя уравнения, выражающие изменения Q и М_х по участкам.

Напомним, что границы участков нагружения — это сечения, в которых приложены внешние нагрузки.

Примеры решения задач

Пример 1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 2.50, а.

Решение

При построении эпюр для балок с одним защемленным концом можно не определять опорные реак­ции. Проводя сечение, будем рассматривать равновесие той части, к которой приложены только внешние (актив­ные) силы. Для балки по рис. 2.50, а такой частью будет левая.

Рассматривая равнове­сие левой отсеченной час­ти балки, выразим попе­речную силу и изгиба­ющий момент в произволь­ном сечении

Поперечная сила положи­тельна, так как внешняя нагрузка направлена сле­ва от сечения вверх, Q_y постоянна на всем протяжении балки. Эпюра поперечных сил построена на рис. 2.50, б.

Оба слагаемых, входящих в выражение изгибающего момента, положительны, так как соответствующие внеш­ние силы изгибают балку выпуклостью вниз. Изгибающий момент выражается линейной функцией от абсциссы се­чения z. Поэтому для построения этой эпюры достаточно найти значения изгибающего момента только в двух се­чениях балки:

Эпюра моментов показана на рис. 2.50, в.

Пример 2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 2.52,а.

Решение

Решение

Определяем опорные реакции V_A и V_B:

откуда

Откуда

Составляем проверочное уравнение:

следовательно, опорные реакции определены верно.

Валка имеет три участка I, II, III (см. рис. 2.53, а): участок I — от опоры А до силы Р₁ (0 < z < l м), уча­сток II — от силы Р₁ до силы Р₂ (1 м << z < 3 м), участок III — от силы Р₂ до опоры В. На этом участке абсциссу удобнее отсчитывать не слева, а справа, т. е. от опоры В ( 0 < z₁ < 1 м).

Поперечная сила в произвольном сече­нии участка I

в произвольном сече­нии участка II

в произвольном сечении участка III

Если рассматривать левую отсеченную часть балки, то получим то же самое значение поперечной силы:

В последнем случае вычисления оказались более гро­моздкими, так как к левой части балки приложено три силы, а к правой — только одна. В пределах каждого участка поперечная сила постоян­на. По вычисленным значениям с соблюдением правила знаков эпюра Q_y построена на рис. 2.53, б. Эпюра имеет скачки под сосредоточенными силами V_A, P₁, Р₂, V_B, величина и направление скачка соответствуют величине и направлению внешней силы.

Переходим к построению эпюры изгибающих момен­тов. Берем сечение в пределах участка /; слева от него расположена одна сила — опорная реакция V_A. Изгибаю­щий момент в произвольном сечении участка I

Полученное выражение является уравнением прямой, поэтому для построения эпюры моментов на этом участке достаточно найти ординаты двух точек:

Значение ординаты М_х = 2,5 кН-м в выбранном мас­штабе откладываем вверх под точкой приложения силы P_v. Для определения изгибающего момента на участке II также рассматриваем равновесие левой отсе­ченной части балки:

Полученное выражение является уравнением прямой.

Для построения эпюры изгибающих моментов на участке II нужно определить ординаты в двух точках:

Значение M_x^II = 3,5 кН-м откладываем вверх под силой Р₂ и соединяем с уже построенной ординатой в сечении под силой P₁.

На участке III целесообразно рассмотреть правую часть балки, так как к ней приложено меньше сил, чем к левой:

где z₁ отчитывается от опоры В и изменяется в преде­лах от 0 до 1 м;

Под силой Р₂ значение M_x^II = M_x^11I, что подтверждает правильность решения.

Эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 2.53, в.

Пример 4. На балку действуют сосредоточенные силы и мо­мент (рис. 30.1). Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Решение

Последовательно по участкам нагружения рассматриваем внут­ренние силовые факторы в сечениях. Силовые факторы определяем из условий равновесия отсеченной части. Для каждого участка за­писываем уравнения внутренних силовых факторов.

Используем известные правила:

— поперечная сила численно равна алгебраической сумме про­екций внешних сил на ось Оу,

— изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относи­тельно нейтральной оси, совпадающей с осью Ох;

— принятые знаки поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 30.2):

Знак сменился; М_Хв слева от сечения В — положительный.

Поперечнуюсилу и изгибающий момент можно определять сра­зу из зависимостей

не составляя уравнения равновесия участка.

Знак каждого из слагаемых этих уравнений определяем отдель­но (участок 3).

3. Рассмотрим участок 3 (рис. 30.Зе).

— положи­тельна.

Обращаем внимание, что для точки В получено два значения изгибающих моментов: из уравнения для участка 2 левее точки В и из уравнения для участка 3 — правее точки В.

Это объясняется тем, что именно в этой точке приложен внеш­ний момент и поэтому внутренний момент сил упругости меняется.

В точках приложения внешнего момента на эпюре моментов по­явится скачок, равный величине приложенного момента.

Поперечная сила в точке В для второго и третьего участков одинакова. Следовательно, приложение внешнего момента не от­ражается на эпюре поперечных сил. График поперечной силы на участке 3 — прямая линия.

График изменения изгибающих моментов на третьем участке также прямая линия.

4. Построение эпюр. Порядок построения эпюр остается преж­ним: масштабы эпюр выбираются отдельно, исходя из значений мак­симальных сил и моментов.

Графики обводятся толстой основной линией и заштриховыва­ются поперек. На графиках указываются значения поперечных сил, изгибающих моментов и единицы измерения.

Правила построения эпюр (рис. 30.1 и 30.4):