Підставимо (4.5) в друге рівняння системи (4.17)
. (4.20)
Так як за формулою пониження степеня , то (4.20) прийме вид
. (4.21)
Загальний розв'зок рівняння (4.21) складається з суми розв'язків однорідного рівняння
, (4.22)
та частинного розв'язку, що шукається у виді
. (4.23)
Знайшовши та , підставимо їх разом з (4.23) в рівняння (4.21), тоді отримаємо
.
Загальний розв'язок рівняння (4.21) має вигляд
. (4.24)
Умови періодичності виражаються подібними однорідними рівняннями
Умови періодичності для всіх функцій будуть однакові. Таким чином, С5=0, С6=0 і тоді
.
Зупиняючись на першому наближенні для х(t), отримаємо
.
Цей розв'язок при досить малому μ наближається до φ0(t), обертаючись в нього при μ=0.
В данному випадку лінеаризація системи можлива, якщо визначник Δ≠0 (див. систему (*)). Тобто це і є, свого роду, критерій допустимості лінеаризації нелінійної системи.
II. Метод Крилова
Розглянемо другий приклад нелінійного диференціального рівняння другого порядку, що описує рух автономної системи методом Крилова.
Нехай рівняння має вид
. (4.25)
Розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді
(4.26)
Крім того, будемо шукати квадрат власної частоти також у вигляді ряду:
, (4.27)
де С1, С2, С3 – деякі шукані константи.
Підставимо (4.26) і (4.27) в (4.25) і отримаємо
Побудуємо диференціальне рівняння за степенями малого параметра m.
(4.28)
Розв'язок системи рівнянь (4.28) шукаємо при наступних початкових умовах для x(t): t=0, , ,
або , ,
, , (4.29)
, ,
Розглянемо перше рівняння системи (4.28)
. ( )
Тоді .
Підставивши початкові умови (4.29), знайдемо А=а, В=0. Остаточно
φ0 = а cospt. (4.30)
Цей розв'язок підставимо у друге рівняння системи (4.28)
. (4.31)
Скориставшись тим, що , отримаємо (4.31) у вигляді
. (4.32)
Для того, щоб не отримати "псевдо резонанс" в системі необхідно покласти
Після цього рівняння (4.32) матиме вигляд
. (4.33)
Знайдемо частинний розв’язок (4.33)
.
Знайшовши , і підставивши разом з у вихідне рівняння (4.33), отримаємо
; N=0.
Остаточно
. (4.34)
Розв'язок однорідного рівняння для (4.33) має вигляд
.
Запишемо загальний розв'язок рівняння (4.33)
. (4.35)
При нульових початкових умовах
і
. (4.36)
Таким чином, розв'язок нелінійного рівняння (4.25) в першому наближенні має вигляд
,
де (4.37)
Частота власних коливань збільшується при збільшенні амплітуди.
Для того, щоб отримати друге наближення, необхідно підставити в третє рівняння системи (4.28) і так далі.
Дата добавления: 2020-08-31; просмотров: 415;