Фильтрация случайных сигналов в ЛДС

11.1.1. Основные понятия случайных дискретных сигналов

Стационарный случайный дискретный процесс характеризуется математическим ожиданием и автокорреляционной функцией:

, (11.1)

, (11.2)

где - усреднение по времени или ансамблю (для эргодических сигналов).

Если анализируется только случайная составляющая сигнала, рассматривают автоковариационную функцию:

. (11.3)

В случае автоковариационная функция дает дисперсию сигнала:

. (11.4)

Степень линейной связанности двух различных случайных дискретных сигналов определяется взаимной корреляционной и взаимной ковариационной функцией:

, (11.5)

. (11.6)

Два случайных сигнала называются некоррелированными, если:

.

Дискретный белый шум характеризуется тем, что его текущее значение не зависит от предшествующих значений. Нормальный дискретный белый шум полностью характеризуется математическим ожиданием и ковариационной функцией:

, (11.7)

где

В отличие от аналогового белого шума, дисперсия дискретного белого шума не является бесконечной и такой шум является физически реализуемым.

11.1.2. Прохождение случайных сигналов через ЛДС

Во временной области необходимо учитывать связь вход-выход ЛДС с импульсной характеристикой по формуле свертки:

. (11.8)

Взяв математическое ожидание от уравнения свертки, можно получить выражение для математического ожидания выходного сигнала ЛДС:

. (11.9)

Таким образом, математическое ожидание выходного сигнала получается в результате линейной дискретной свертки математического ожидания входного сигнала .

Автокорреляционная функция выходного сигнала ЛДС определяется выражением:

. (11.10)

Соответственно, для средней мощности выходного сигнала можно получить:

. (11.11)

Если входной сигнал имеет нулевое среднее значение:

. (11.12)

Соответственно можно получить для автоковариационной функции выходного сигнала:

. (11.13)

Для взаимной ковариационной функции входного и выходного сигналов в случае нулевых средних можно записать:

. (11.14)