Законы электрического поля в интегральной и дифференциальной формах

Под электрическим током проводимости i понимается движение свобод­ных зарядов в проводящей среде γ под действием сил электрического поля . Ток проводимости в каж­дой точке среды характеризуется вектором плотности:

[А/м²].

Направление вектора совпадает с направлением положительных заря­дов. Ток, протекающий через произвольную площадку s, связан с вектором уравнением: .

Выделим мысленно в проводящей среде, где протекает ток, элементарный цилиндр длиной dl с основанием ds так, чтобы вектор был направлен вдоль оси цилиндра (рис. 268).

Ток, протекающий вдоль цилиндра:

.

Напряжение между концами цилиндра:

,

где - вектор напряженности электрического поля, под действием которого возни­кает ток.

Сопротивление цилиндра, как проводника:

,

где γ – удельная проводимость среды [См/м].

Сопротивление цилиндра по закону Ома:

.

Приравнивая правые части равенств, получим:

		- уравнение закона Ома в дифференциальной форме

Мощность, выделяемая в цилиндре по закону Джоуля:

, откуда

[Вт/м³] - уравнение закона Джоуля в дифференциальной форме, которое характеризует интенсивность выделения энергии вокруг рас­сматриваемой точки.

Если внутри цилиндра окажутся источники энергии, создающие дополни­тельную составляющую напряженности поля (напряженность поля сторон­них сил), то и закон Ома в дифференциальной форме получит вид:

.

Как известно, выражение первого закона Кирхгофа в интегральной форме имеет вид:

.

Выразим каждый из токов через вектор плотности тока :

.

Преобразуем полученное уравнение по теореме Остроградского-Гаусса:

, следовательно:

- уравнение первого закона Кирхгофа в дифференциальной форме.

Из этого уравнения следует вывод, что линии вектора непрерывны и замк­нуты.

Интегральная форма уравнения 2-го закона Кирхгофа для контура, не со­держащего источников ЭДС, имеет вид:

.

Выразим каждое из напряжений через вектор напряженности поля : , и преобразуем полученное уравнение по теореме Сто­кса: .

Последнее уравнение справедливо для любого направления, следова­тельно:

- уравнение второго закона Кирхгофа в дифференциальной форме.

Из этого уравнения следует вывод, что электрическое поле постоянного тока без­вихревое, потенциальное и в каждой точке может быть описано потен­циальной функцией согласно уравнению:

.

Преобразуем уравнение первого закона Кирхгофа:

, откуда следует: или - уравнение Лапласа для электрического поля посто­янного тока.

На границе раздела двух сред с различными проводимостями и вы­делим точку и окружим ее элементарной призмой, у которой высота бесконечно мала по сравнению с линейными размерами оснований (рис. 269а).

Применяя первый закон Кирхгофа, получим:

.

Откуда следует, что - на границе раз­дела двух сред с различными проводимостями равны нормальные составляю­щие вектора плотности тока .

Окружим точку элементарным прямоугольником (рис. 269б), у которого вы­сота беско­нечно мала по сравнению с длиной. Применяя второй закон Кирхгофа к контуру прямо­угольника, получим:

.

Откуда следует, что - на границе раздела двух сред с различными проводимостями и равны тангенциальные со­ставляющие вектора на­пряженности поля .

Разделим почленно левые и правые части полученных уравнений и учтем, что и , в итоге получим:

- условие преломления линий поля на границе раздела двух сред с различными проводи­мостями и .