Векторный потенциал магнитного поля
Пусть требуется рассчитать магнитное поле в однородной среде (m=const) , в которой протекает электрический ток, плотность которого задана в виде некоторой функции координат . Для определения векторов поля и необходимо решить систему уравнений:
(1)
(2)
(3)
Введем новую векторную величину , позволяющую исключить из системы уравнений неизвестные и и получить одно дифференциальное уравнение, решение которого известно в математике.
Пусть вектор , получивший название вектора потенциала магнитного поля, удовлетворяет условию:
Так как divrot любого вектора тождественно равна нулю, то уравнение (1) выполняется тождественно:
Из уравнения (2) следует:
Из курса математики известно, что .
В полученном уравнении можно принять , не нарушая равенства . Тогда получим :
- уравнение Пуассона для векторного потенциала магнитного поля для областей среды, где протекают токи проводимости. Для областей среды, где токи проводимости отсутствуют, уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа . Каждое из этих векторных уравнений в декартовой системе координат распадается на три скалярных в направлении координатных осей:
Решения уравнений Пуассона для векторного потенциала имеют вид (без вывода):
; ;
Если решение для векторного потенциала найдено, то другие неизвестные величины выражаются через векторный потенциал:
Если токи протекают по линейным проводникам, поперечные размеры которых весьма малы по сравнению с их длиной, то то выражение для векторного потенциала можно упростить следующим образом:
где - ток в проводнике
В последнем уравнении интегрирование по объему заменяется интегрированием по контурам линейных проводов, что упрощает его решение.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 436;