Дробно-рациональное уравнение регрессии

В общем случае уравнение дробно-рациональной функции имеет вид y = x/(ax + b).

Пусть исходная функция y = f(x) варианта задания имеет вид, показанный в таблице в диапазоне ячеек A7:B18, рис. 4.8.1.

Построим точечный график функции Дробно-рациональная регрессия y = f(x).

В строке 21 создадим шапку таблицы, как показано на рис. 4.8.1.

В ячейку B29 запишем произвольную константу 1, а в ячейку C29 - произвольную константу 2.

Рис. 4.8.1

В ячейку A29 запишем оператор присваивания для сцепленных символьных констант:

="y="&"x/("&ТЕКСТ(B29;"0.00")&"x"&ЕСЛИ(C29<0;ТЕКСТ(C29;"0.00");"+"&ТЕКСТ(C29;"0.00"))&")"

Ячейке J6 присвоим такое же значение, какое приобретает ячейка A29, то есть J6 = A29.

Тогда, в соответствии с выбранными коэффициентами в ячейках B29=1 и C29=2, в ячейках A29 и J6получим результат y = x/(1.00 x + 2.00).

Запишем в ячейку J7 уравнение дробно-рациональной функции с коэффициентами, взятыми в абсолютной адресации из ячеек B29 и C29, то есть =A7/($B$29*A7+$C$29), в качестве аргумента X берётся значение ячейки A7исходной таблицы.

Скопируем закон преобразования информации ячейки J7 до ячейки J18 включительно.

В результате получим спектр значений функции y = x/(x + 2) на спектре аргументов X в диапазоне значений ячеек A7:A18, рис. 4.8.1.

В ячейку J19, используя мастер функций f_x, запишем результат вычисления функции =СУММКВРАЗН(B7:B18;J7:J18), рис. 4.8.2.

Рис. 4.8.2

Примечание: обозначение Массив_x и Массив_y, рис. 4.8.2, математическое и не совпадает с обозначениями выполняемого задания.

Добавим на точечный рисунок исходной таблицы уравнение дробно-рациональной функции y = x/(x + 2), рис. 4.8.3.

Рис. 4.8.3

Заметим, что это уравнение дробно-рациональной регрессии, с произвольными значениями коэффициентов a=1 и b=2.

Соответствие этого уравнения регрессии исходному распределению оценено с помощью вычисления функции суммы квадратов разностей, значение которой составляет 391.9722706.

Для определения оптимальных значений коэффициентов a и b воспользуемся функцией Поиск решения:

– установим курсор в ячейку J19;

– последовательно, выбирая Разработчик, Данные, Поиск решения, вызвать окно Параметры поиска решения, в котором установить параметры, как показано на рис. 4.8.4, и нажать кнопку Найти решение;

Рис. 4.8.4

– увидеть, как в ячейке B29 установится значение 0.13, в ячейке C29 – 0.19, в ячейке J19 – 50.09723368, рис. 4.8.5;

Рис. 4.8.5

Это означает, что дробно-рациональная функция с коэффициентами a = 0.13и b = 0.19отобразится на графике Дробно-рациональная регрессия, как показано на рис. 4.8.5, при этом значение суммы квадратов разностей будет минимально и равно 50.09723368.

Таким образом, коэффициенты для дробно-рационального уравнения регрессии определены и для исходного задания уравнение имеет вид y = x/(0.13 x + 0.19).

Так как в библиотеке линий тренда отсутствует дробно-рациональная функция, то проверить правильность решения добавлением линии тренда не представляется возможным.

На рис. 4.8.6 показан результирующий график использования в качестве уравнения регрессии дробно-рациональной функции y = x/(0.13 x + 0.19)для исходного варианта задания y = f(x).