Общий вид формул преобразования коэффициентов

Введем обозначения : i - номер уравнения (строки); j - номер переменной (элемента в строке); к - номер шага преобразования (исключаемой переменной)

Тогда формулы преобразования расписываются так:

.

(3.8)

Эти формулы легко поддаются программированию для использования вычислительной техники.

Общий вид формул обратного хода

Блок-схема метода Гаусса

1. Ввод исходных данных.

Прямой ход

2. Цикл по исключаемым переменным k =1,…,n-1.

3. Цикл по уравнениям i=2,…,n.

4. c= .

5. Цикл по текущим переменным j=i,…,n.

6. .

7. Next j; Next i ; Next k

Обратный ход

8. x_n= b_n/a_nn.

9. Цикл по восстанавливаемым переменным k =n-1,…, 1.

10. Цикл по текущим переменным j=k+1,…,n, S=0.

11. S=S+ ; Next j.

12. ; Next k

Пример. Методом Гаусса решить систему линейных уравнений

Из первого уравнения системы выразим значение переменной и подставим его во второе и третье уравнения

После приведения подобных членов последние уравнения имеют вид

Аналогично из второго уравнения выразим значение переменной и подставим его в третье уравнение

В результате система уравнений преобразуется к треугольному виду

Это прямой ход исключения Гаусса. На обратном ходе значения переменных определяются в обратном порядке (снизу вверх). Из третьего уравнения -2. Из второго после подстановки -2 получаем х₂=3 и из первого х₁=2.

Процедуру прямого хода можно представить в матричной форме. Исключение переменных осуществляется путем вычитания предварительно умноженной на коэффициент k_i строки, соответствующей исключаемой переменной, из нижних строк

Исходная Расширенная матрица	Матрица после первого исключения	Матрица после второго исключения