Свойства обратной матрицы
1. Определитель обратной матрицы отличен от нуля. Произведение определителей исходной и обратной матрицы равно единице, Det(А)·Det(А-1)= 1.
2. Матрица, обратная по отношению к А-1, совпадает с исходной, (А-1)-1 = А
3. Обратная матрица единственна, т.е. если для матрицы А различными методами найдены матрицы В1 и В2, обладающие свойствами обратной, то В1 = В2
4. Обратная матрица может быть вычислена через матрицу алгебраических дополнений Δ
, соответствующую
согласно выражению .
Отсюда для получения обратной матрицы методом алгебраических дополнений (один из возможных методов) можно сформулировать следующий алгоритм.
a) Вычислить определитель, .
b) Сформировать матрицу, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение соответствующего элемента исходной матрицы: .
c) Транспонировать матрицу алгебраических дополнений.
d) Каждый элемент транспонированной матрицы умножить на коэффициент .
Пример. Исходная матрица . Найти обратную матрицу по приведенному правилу и доказать, что она обратная.
Решение:
Определитель исходной матрицы ,
Матрица алгебраических дополнений Δ=
Транспонированная матрица алгебраических дополнений Δt= ,
Обратная матрица .
Проверка(при ручных расчетах рекомендуется делать всегда, как только будет получена обратная матрица).
Если — обратная, то справедливо выражение .
A = .
Получена единичная матрица, следовательно, расчет выполнен правильно
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 419;