Элементарные операции с матрицами

Две матрицы считаются равными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые размерности и соответствующие элементы,

.

Сложение двух матриц A и B:

C = A + B с_ij = a_ij + b_ij, i =1,...,n, j=1,...,m, dim A=dim B=dim С.

Операция сложения матриц обладает переместительным и сочетательным свойствами:

А + В = В+ А;

(А + В) + С = А + (В + С).

Здесь А, В, С произвольные прямоугольные матрицы одинакового размера.

Умножение матрицы на число: B = aA, b_ij = aa_ij, i =1,...,n, j=1,...,m
(dim A=dim B). Для данной операции справедливы следующие свойства:

a(A + B) = aA + aB;

(a + b)A = aA+bA

(ab)A = a(bA)

Произведение двух матриц А и В:

i =1,...,n, j=1,...,s, dim A=n,m, dim B=m,s, dim C=n,s .

Эта операция возможна при условии, что количество столбцов матрицыAравно количеству строк матрицы В. Матрица - произведение С имеет столько же столбцов, сколько их у матрицы B, и столько же строк, сколько их у матрицы A. Элемент с_ij - есть скалярное произведение i - той строки матрицы А и j - ого столбца матрицы B: с_ij.= .

Для умножения матриц справедливо сочетательное свойство, а также распределительное свойство умножения относительно сложения:

(АВ) С = А (ВС);

(А + В)С = АС + ВС;

А(В + С) = АВ+АС.

Умножение матриц не обладает переместительным свойством: АВ ¹ВА

(Если АВ=ВА, то матрицы А и Вназываются перестановочными или коммутирующими между собой).