АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Рассмотрим пример. Пусть А = À. Каждой паре натуральных чисел (m,n) сопоставим их произведение: ¦(m,n)=mn. Например, ¦(2,20)=40, ¦(3,4)=12. При этом соответствии каждой паре натуральных чисел сопоставляется единственное натуральное число, то есть имеем отображение À´À®À.

Определение. Пусть А некоторое множество. Отображение ¦ множества A´A в А называется бинарной алгебраической операцией (действием) на множестве А.

Заметим, что из определения следует тот факт, что бинарная алгебраическая операция есть бинарное отношение между элементами множеств А´А и А, которое удовлетворяет следующему требованию: каждой паре (а,b)ÎА´А соответствует единственный элемент сÎА.

Проверим, является ли умножение на множестве натуральных чисел бинарной алгебраической операцией. Да, является, так как каждой паре натуральных чисел сопоставляется единственное натуральное число, являющееся их произведением. Рассмотрим другие примеры:

1. Является ли соответствие (а,b)®(а-b) бинарной алгебраической операцией на множестве натуральных чисел À?

Нет, это соответствие не является отображением À´À в À, а поэтому не является и бинарной алгебраической операцией на À.

2. На множестве Z´Z зададим соответствие (а,b)®(3а+b). Является ли это соответствие бинарной алгебраической операцией на Z? Да, так как указанное соответствие является отображением Z´Z в Z.

3. Будет ли вычитание бинарной алгебраической операцией на Z?

Да, будет, так как это отображение Z´Z в Z.

4. Пусть А={-1,0,1}. Зададим на А умножение и запишем это в виде таблицы.

Задает ли эта таблица алгебраическое действие на А? Обычно на конечных множествах действия задают в виде таких таблиц, которые называют таблицами Кэли.

5. На множестве A={Ñ,•,O) таблицей задано соответствие между А´А и А.

Является ли это соответствие алгебраическим действием на множестве А? Нет, так как пара (•,•) соответствует V, а элемент V не принадлежит А.

Бинарные алгебраические операции обычно обозначаются значками +,·,´,Ä,Å и т.д., и вместо того, чтобы писать, что пара (а,b)®c, пишут а·b=c или а+b=c и т.д. - в зависимости от обозначения операции.

Наука, изучающая алгебраические операции, называется абстрактной алгеброй. Отметим, что абстрактную алгебру прежде всего интересует вопрос, как действует та или иная алгебраическая операция. Примеров алгебраических операций в школьном курсе много. Алгебраическими операциями являются операции объединения и пересечения множеств, операция композиции преобразований некоторого множества. Отметим некоторые специальные элементы во множестве с алгебраической операцией.

Множество А с заданной в нем алгебраической операцией “*“ будем записывать следующим образом (А,*).

Определение. Пусть на множестве А задана бинарная алгебраическая операция “*“. Элемент qÎА называется нейтральным, если для каждого элемента аÎА: а*q=q*а=а.

Если действие на множестве А названо умножением, то нейтральный элемент называется единицей. Таким образом, элемент еÎА называется единицей, если для каждого элемента аÎА: а´е=е´а=а.

Докажем, что если во множестве есть нейтральный элемент, то он единственный. В самом деле, пусть в (А,´) есть по крайней мере два нейтральных элемента q₁ и q₂. Тогда, по определению нейтрального элемента, имеем q₁´q₂=q₁=q₂. Итак, если в (А,´) существует нейтральный элемент, то он единственный.

Тождественное преобразование Е плоскости является единицей во множестве всех преобразований плоскости с действием композиция преобразований: для всякого преобразования ¦ имеем:

(¦´Е)(х)=¦(Е(х))=¦(х), (Е´¦)(х)=Е(¦(х))=¦(х), то есть ¦´Е=Е´¦=¦.

Определение. Если в (А,*) есть нейтральный элемент, то элемент а’ называется симметричным для а, если а*а’=а’*а=q.

Если действие на множестве А названо умножением, то симметричный элемент называется обратным, то есть элемент а^-1 называется обратным для а, если а´а^-1=а^-1´а=е.

Если действие во множестве А называют сложением и обозначают +, то нейтральный элемент называют нулем (0), а обратный элемент называют противоположным и обозначают (-а).

Рассмотрим примеры.

Пусть дано (À,´), то есть рассматривается операция обычного умножения на À. Тогда е в (À,´) есть единица 1 и для нее есть обратный элемент. Во множестве А (пример 4) тоже есть единица 1, и, например, для -1 есть обратный элемент -1, ибо (-1)´(-1 )=1. Во множестве Z с операцией сложения есть нейтральный элемент, который называют нулем, и для каждого элемента есть симметричный, который называют противоположным. Например, противоположный элемент для -3 есть 3. Рассмотрим некоторые свойства алгебраических действий.

Определение. Бинарная алгебраическая операция называется ассоциативной, если для всяких а,b,cÎА имеет место (а´b)´с=а´(b´с).

В примере 4 действие ассоциативно. Ранее было показано, что композиция преобразований некоторого множества ассоциативна. Рассмотрим пример 2. В этом примере Z´Z®Z так, что а·b=3a+b. Пусть а=1, b=1, c=1. Найдем

а·(b·с)=а·(3b+с)=3а+3b+с=7, (а·b)·с=(3а+b)·с=3(3а+b)+с=13, то есть а·(b·с)¹(а·b)·с. Таким образом, указанная операция не ассоциативна.

Операции пересечения и объединения множеств ассоциативны.

Определение. Множество, в котором бинарная алгебраическая операция ассоциативна, называется полугруппой.

В настоящее время теория полугрупп бурно развивается и находит свои многочисленные применения.

Определение. Бинарная алгебраическая операция называется коммутативной, если для любых а,bÎА имеет место а´b=b´а.

Действие в примере 4 коммутативно, а в примере 3 не коммутативно. Рассмотрим пример 2. Имеем а·b=3а+b, b·а=3b+а. Положим а=3, b=2. Тогда а·b=11, b·а=9, а·b¹b·а, и, следовательно, действие не коммутативно. Не коммутативна и композиция преобразований некоторого множества. Действия пересечения и объединения множеств коммутативны.

Определение. Алгебраическая операция называется обратимой справа (слева), если для всяких а,bÎА найдется xÎА (yÎА) такой, что а=b·x (а=y·b).

Действие в примере 4 не обратимо ни справа, ни слева, ибо не существует такого хÎА, что х´0=1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ

Определение. Группой называется непустое множество G с алгебраическим действием * на нем таким, что:

1. Действие ассоциативно ((G,*) - полугруппа).

2. В G существует нейтральный элемент q.

3. Для каждого элемента аÎG в G существует симметричный ему элемент.

Определение. Группа называется коммутативной, или абелевой, если операция в ней коммутативна.

Очевидно, что (Z,+) - группа, так как действие сложения в множестве Z ассоциативно, 0ÎZ, для каждого аÎZ существует в Z противоположный ему элемент -а.

Выяснить, будет ли множество всех целых чисел группой относительно умножения?

Пусть M=(M,·), где М={а,b}, а операция · задана таблицей Кэли

Будет ли (M,·) группой? Да, (M,·) - группа, так как действие · ассоциативно, единицей является элемент а и для элемента а обратным служит элемент а, а для b - элемент b.

Обратим внимание на следующий интересный факт. В определении группы сказано, что для каждого элемента существует симметричный элемент. Естественным является вопрос, сколько для данного элемента а существует в группе симметричных элементов?

Предложение 1. В группе для каждого элемента существует единственный ему симметричный элемент.

Доказательство. Пусть в группе (G,*) для некоторого элемента аÎG

имеются два симметричных элемента. Обозначим их а₁, а₂. Тогда

а₂·(а·а₁)= a₂·q= а₂; (а₂·а)·а₁ = q·а₁ = а₁.

В силу ассоциативности а₂·(а·а₁)= (а₂·а)·а₁=а₂= а₁. Предложение доказано.

Предложение 2. Действие в группе (G,·) обратимо слева и справа.

Доказательство. Пусть а,вÎG, где G - группа. Обозначим х=в·а^-1, y=а^-1·в. Тогда х,yÎG. Имеем в G:

х·а=(в·а^-1)·а=в·(а^-1·а)=в·е=в; а·y=а·(а^-1·'в)=(а·а^-1)·в=е·в=в, то есть свойство обратимости слева и справа в группе (G,·) выполнено.

Предложение 3. Если в полугруппе (G,·) действие обратимо слева и справа, то (G,·) - группа.

Доказательство. Действительно, покажем, что в (G,·) есть единица и для каждого элемента а есть в (G,·) ему обратный. Пусть а - произвольный элемент из (G,·). По свойству обратимости, существует в (G,·) такой элемент е_a , что а·е_a=а. Рассмотрим произвольный элемент xÎ(G,·) и применим свойство обратимости справа и слева к элементам x и а. В (G,·) существует y такой, что x=y·а, тогда x·e_a=(y·a)·e_a=y·(a·e_a)=y·a=x. Аналогично доказывается, что в (G,·) существует такой элемент е, что для любого xÎ(G,·) имеет место e·x=x. Тогда получим: е_a·е=е_a=е, то есть е - единица (G,·). По свойству обратимости в (G,·) найдутся такие элементы х,y, что x·а=е, а·y=е, где е - единица. Тогда (x·а)·y=е·y=y, x·(а·y)=x·е=x и х=y=а^-1. Поэтому иногда группу определяют как множество c ассоциативным действием, обратимым слева и справа.

Примеры групп

1. Множество всех положительных действительных чисел по умножению образует абелеву группу.

2. Множество всех целых чисел образует абелеву группу по сложению.

Упражнения

1. Рассмотрим множество Н={-1, 1}. Введем в нем действие умножения. Самостоятельно докажите, что в этом случае Н является группой.

2. Будет ли множество натуральных чисел группой относительно действия возведения в степень?

3. Будет ли множество рациональных чисел группой относительно следующего действия: a*b=max(a,b)?

4. В множестве из трех элементов определить действие так, чтобы оно стало относительно него группой.