Уравнение неразрывности движения потока

При обтекании тела частицы воздуха совершают сложное движение: поступательное, вращательное и деформационное (меняется форма и объем). С этим связаны типы обтекания: безвихревое (ламинарное) и вихревое (турбулентное) [20].

Уравнение неразрывности движения потока в математическом смысле представляет собой закон сохранения массы (основной закон природы) [20].

Это значит, что масса m в объеме W неизменна, то есть

, или: . (2.12)

Однако каждая составляющая ρ и W могут при этом изменяться:

. (2.13)

Последнее выражение и есть общее уравнение теории неразрывности движения потока жидкой среды (воздух, вода и т.п.). Частный случай общего уравнения – это установившееся движение, когда . Это относится и к несжимаемой жидкости.

Рассмотрим течение жидкости через отдельную струйку.

Рис. 2.4. Течение жидкости через струйку

Количество жидкости, поступающее в единицу времени в объем через торцевое сечение I площадью S₁ и равное ρ₁v₁S₁, будет таким же, как масса жидкости ρ₂v₂S₂, вытекающая через противоположное сечение II площадью S₂, то есть:

или (2.14)

Последнее уравнение представляет собой уравнение массового расхода жидкости (воздуха), секундный расход. Для контроля определим размерность уравнения массового расхода:

– размерность массы в технических единицах. Для несжимаемой жидкости v₁S₁ = v₂S₂, когда , а .

Рассмотренная гипотеза практически используется при обосновании характера обтекания тела в потоке, при обосновании формулы подъемной силы крыла, флюгарки ДАУ.

2.5. Подъемная сила. Теорема Николая Егоровича Жуковского [17, 18, 20, 21]

На рисунке 2.5 представлено крыло в потоке воздуха, расположенное к оси потока под углом атаки α. Здесь Y – подъемная сила, Q – лобовое сопротивление, которое в 20 – 25 раз меньше подъемной силы Y.

Рис. 2.5. Крыло в потоке воздуха

В 1906 году Н.Е. Жуковский для крыла бесконечного размаха доказал теорему о том, что на такое тело (при наличии циркуляции Г вокруг него) действует подъемная сила Y. Закон основан на применении закона количества движения к массам жидкости, обтекающего крыло.

Рис. 2.6. Геометрические характеристики крыла: bкорн – корневая хорда; bконц – концевая хорда; bСАХ – средняя аэродинамическая хорда

Н.Е. Жуковский рассматривал крыло бесконечного размаха, у которого отношения корневой хорды (b_корн) к концевой хорде (b_конц) равно бесконечности, то есть при b_конц ≈ 0 или: b_корн/ b_конц ≈ ∞ [17, 18, 20, 21].

Теорема Жуковского формулируется следующим образом: если поток, имеющий в бесконечности скорость v_∞ и плотность ρ_∞, обтекает цилиндрическое тело (крыло) и циркуляция скорости вокруг этого тела равна Г, то на тело со стороны жидкости будет действовать сила Y, перпендикулярная направлению скорости v_∞ и равная произведению циркуляции на плотность и скорость потока в бесконечности [17].

Математически теорема Жуковского может быть записана формулой:

, (2.15)

где l – длина части крыла бесконечного размаха, подъемную силу которой хотят определить.

Рис. 2.7. Геометрические параметры профиля крыла: 1 – средняя линия; 2 – хорда; 3 – кривизна абсолютная

Величина циркуляции была предложена Жуковским в виде

, (2.16)

где b – хорда профиля крыла, α – угол атаки крыла в радианах, – относительная кривизна профиля крыла (т.е. отношение кривизны к хорде).

Подставив последнее выражение (2.16) в предыдущее (2.15) получим:

. (2.17)

Положив bl = S (площадь крыла), в радианах, с учетом того, что суммарный угол обычно не превышает 15˚ ≈ 0,26 радиана, будем иметь:

. (2.18)

Как показала дальнейшая практика определения подъемной силы, выведенная теоретическая зависимость не полностью отражает действительность. Связано это с тем, что при выводе не был учтен пограничный слой вокруг крыла. В начале зарождения теории полета практика обгоняла теорию.

Как уже было сказано, для продувок аэродинамических тел в авиации служат аэродинамические трубы, в которых определяются реальные характеристики, в том числе и подъемные силы и силы лобового сопротивления конкретных тел.

Рис. 2.8. График зависимости безразмерного коэффициента подъемной силы Су от угла атаки α: 1 – несимметричное тело; 2 – симметричное тело

На рисунке 2.8 приведена зависимость коэффициента подъемной силы С_у от угла атаки. Практически подъемная сила определяется по формуле

. (2.19)

Коэффициент и зависит от многих конструктивных параметров обтекаемого тела (крыла):

, (2.20)

где λ – удлинение крыла, λ = l²/S; l – длина крыла; S – площадь крыла; η – сужение крыла, η = b_корн / b_конц, b_корн – корневая хорда, b_конц – концевая хорда крыла; χ – стреловидность крыла; М – число Маха; – относительная кривизна крыла.

Для крыла с большим удлинением (λ > 2) и сужением (крыло бесконечного удлинения) все перечисленные параметры имеют существенное влияние на величину коэффициента . Однако для крыла с малым удлинением коэффициент в основном зависит от удлинения. При этом малым удлинением считается величина .

У крыльев бесконечного размаха по опытным данным коэффициент 1/град ≈ 5,7 1/радиан. Для крыльев конечного размаха этот коэффициент меньше. Зная значение можно теоретически определить значение коэффициента подъемной силы для любого удлинения:

, (2.21)

где τ – поправочный коэффициент, равный τ ≈ 0,18.

Для точного определения значения всех коэффициентов крыло продувается в аэродинамической трубе.

Для крыла малого удлинения типа флюгарки коэффициент имеет следующую зависимость при М < 1:

. (2.22)

В таблице 2.3 со звездочкой приведены практические значения , а без звездочки по формуле (2.22).

Таблица 2.3

Λ	0,5	1,0	1,5	2,0	3,0
, рад	0,9* 0,8	1,6* 1,57	2,1* 2,35	2,6* 3,14	3,2*

Формула пересчета (2.21) мало пригодна для крыльев с малым удлинением, но хорошо приемлема для крыльев с большим удлинением (λ > 2). У крыльев с малым удлинением коэффициент значительно меньше коэффициента крыла с большим удлинением.

Рис. 2.9. Сравнение кривых Су (α) пластин больших и малых удлинений: 1 – λ > 2; 2 – λ < 2

Теорема Жуковского явилась основой теории полета и аэродинамики крыла. Она отвечает на вопрос: "Почему самолет летает?" Теорема Жуковского вместе с гипотезой о неразрывности движения потока объясняет принцип образования подъемной силы крыла самолета, особенности восприятия статического давления в ПВД и др.

На рисунке 2.10 показано крыло в потоке воздуха. Показано, что под крылом давление больше по сравнению с давлением над профилем крыла. Струи воздуха чтобы соединится в одной точке (разрыв не допустим) после прохождения крыла должны двигаться с разными скоростями, так как их пути следования разные. Верхний слой движется с большей скоростью, а значит давление над крылом меньше давления под крылом. Разность давления, умноженная на площадь крыла, создает подъемную силу.

Рис. 2.10. Характер обтекания крыла в потоке воздуха, установленного под углом атаки α к потоку: - - - - – давление над крылом; + + + + – давление под крылом

Рис. 2.11. Гофрированное тело в потоке воздуха

Рис. 2.12. Распределение избыточного давления по поверхности гофрированного тела в потоке воздуха

На переднем участке, на гладком цилиндре используется принцип Пито, когда в лобовом отверстии воспринимается полное давление Р_п, а на гладких параллельных потоку стенках прибора с отверстиями воспринимается статическое давление Р_ст.

Эффект ребристой поверхности используется в авиаприборостроении для компенсации погрешностей восприятия статического давления при помощи ПВД.

Например, если в месте установления ПВД на самолете погрешность имеет плюсовой знак, то для компенсации ее нужно взять статическое давление от камеры А с отрицательной погрешностью.

Это же явление используется для повышения чувствительности измерителя приборной скорости. И в этом случае статическое давление нужно взять в камере А. Тогда динамическое давление сформируется следующим образом:

(2.23)

Рис. 2.13. График динамического давления в зависимости от скорости: 1 – кривая до компенсации; 2 – кривая после компенсации с помощью гофрированного тела

На графике 2.13 видно, что новая кривая 2 круче стандартной кривой 1.

Идеально шар в потоке не имеет подъемной силы, если он не вращается. Стоит его закрутить, как появляется подъемная сила.

Рис. 2.14. Шар в потоке воздуха

При вращении ω шар будет иметь подъемную силу, так как Р₁ > Р₂. Это объясняется тем, что в верхней точке движение потока ускоряется, а в нижней точке замедляется.

Приведенные здесь положения не действуют в свободномолекулярном потоке. Там применима теория Ньютона, ударная теория. Из этой теории следует, что образуется только сила лобового сопротивления, подъемная сила отсутствует, так как сплошности нет, гипотеза о неразрывности не действует, циркуляции вокруг тела нет. Но практически в отличие от теории Ньютона небольшая подъемная сила появляется. Аэродинамическое качество К = С_y/С_x в свободномолекулярном потоке при диффузионном отражении молекул мало. Так, при М = 1 К = 0,5, а при М = 20 К = 0,1. Это подтверждает факт того, что эффективность несущей поверхности летательного аппарата в разреженной атмосфере мала.