Сложение элементов симметрии.

В симметричных многогранниках операции симметрии сочетаются друг с другом, однако не все из этих сочетаний возможны. Например, L4 не может быть перпендикулярна осям L3 и L6. Две последовательно выполненные операции симметрии всегда могут быть заменены третьей эквивалентной операцией. Четкое ограничение всех возможных сочетаний элементов симметрии дают теоремы о сочетании.

Теорема 1: При наличии двух пересекающихся плоскостей симметрии через линию их пересечения проходит ось симметрии, действие которой равноценно действию плоскостей, элементарный угол этой оси в 2 раза больше угла между плоскостями.

Теорема 2 (Эйлера): При наличии лвух пересекающихся осей симметрии, через точку их пересечения проходит ось симметрии равнодействующая первым двум. Теорема доказывается на основе первой. Эта теорема также не доказана, т.к. существует алогизм.

Теорема 3: При наличии оси чётного порядка и центра инверсии появляются плоскости симметрии перпендикулярные этой оси. Любая чётная ось тоже является двойной осью.

Теорема 4: При наличии оси n-го порядка и перпендикулярной к ней оси второго порядка, имеется nосей второго порядка.

Теорема 5: При наличии оси n-го порядка и перпендикулярной к ней оси второго порядка, имеется nосей второго порядка.

Принцип вывода видов симметрии.

Кристаллические многогранники не могут иметь произвольного сочетания элементов симметрии в силу взаимодействия этих элементов. Кол-во возможных элементов симметрии в кристаллах-32, и называются они- виды симметрии. Зная теоремы сложения элементов симметрии, мы можем вывести все возможные виды симметрии. Принцип вывода прост: задаем простейшие наборы элементов симметрии и из этих простейших наборов, с помощью теорем сложения получаем полные наборы элементов симметрии. Возможны 7 наборов не выводимых друг из друга с помощью теорем сложения.

1) Примитивные- одна поворотная ось симметрии порядка n.

2) Инверсионно-примитивные- одна инверсионная ось симметрии порядка n.

3) Центральные- поворотная ось симметрии порядка n и центр инверсии.

4) Планальные- поворотная ось симметрии порядка n и проходящая через нее плоскость симметрии.

5) Инверсионно-планальные- инверсионная ось симметрии порядка n проходящая через нее плоскость симметрии.

6) Аксиальные- поворотная ось симметрии порядка n и перпендикулярная ей поворотная ось симметрии второго порядка.

7) Аксиально-центральные- набор элементов симметрии аксиального семейства и центр инверсии.