Расчет цепей однофазного синусоидального тока

Для таких цепей возможно 2 варианта алгоритма расчета.

Вариант 1.

1. Все величины перевести в комплексную форму. Если напряжение задано в виде действующего значения, то начальную фазу можно задать произвольно (обычно равной нулю). Например, если задано U, то можно записать .

2. Преобразовать схему до простейшей, в которой только одно комплексное сопротивление.

3. Рассчитать неизвестные токи и напряжения.

4. Проверить результат по уравнению баланса мощности и определить коэффициент мощности.

5. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

Вариант 2(для простых схем).

1. Определить действующие значения заданных ЭДС, токов и напряжений.

2. Рассчитать действующие значения токов и напряжений на отдельных участках цепи.

3. Определить углы сдвига фаз между токами и напряжениями.

4. Определить активные, реактивные, полные, а также суммарные мощности и коэффициент мощности.

5. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.

Задача.

R=4 Ом, L=10 мГн , С=1062 мкФ, u=140sin(314t+30º) B.

Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений.

1. Переводим все величины в комплексную форму.

Действующее значение напряжения U =U_m / = 140 / = 100 B

= 100 e^j30ºB,

X_L = ωL = 314٠10 ٠10 ^-3 = 3 Ом,

X_С = 1 / ωC = 1 / (314٠1062٠10 ^-6)= 3 Ом.

2. Представим схему в комплексной форме.

3. Определяем комплексные сопротивления.

В алгебраической форме

Z₁ = R + jX_L = 4 + j3 Ом ;

Z₂ = R = 4 Ом ;

Z₃ = R – jX_C = 4– j3 Ом

В показательной форме

Z₁ = e ^{j arctg X/R} = 5 e ^j37º Ом ;

Z₂ = R = 4 Ом ;

Z₃ = e ^{j arctg X/R} = 5 e ^-j37º Ом

4. Преобразуем схему.

5. Определим сопротивления схем.

Чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, числитель и знаменатель умножим на сопряженное комплексное число знаменателя, т. е. на комплексное число, у которого знак перед мнимой частью изменен на противоположный.

Z₂₃ = 2,34e ^–j16,3º Ом ;

Z = Z₁+Z₂₃ = 6,246 + j2,343 Ом ;

Z = 6,67 e ^j20,6º Ом

6. Определим входной ток.

Представим ток в алгебраической форме записи (по формуле Эйлера).

= 15 cos9,4º + j15 sin9,4º = 14,8 + j2,45 A.

7. Определим напряжение .

= Z₂₃ = 2,34e^–j16,3º 15 e^j9,4º = 35,1 e^–j6,9º B;

= 35,1cos6.9º - j35,1sin6.9º = 34,85 – j4,22 B.

8. Определим остальные токи.

= 8,7 – j1,05 A

= 6.07 + j3,52 A.

9. Проверим токи по первому закону Кирхгофа.

= + = 14,77 + j2,47 = 15 e^j9,4º A.

10. Определим напряжение .

= Z₁= 15 e^j9,4º 5 e^j37º = 75 e^j46,4º B;

= 51,7 + j54,3 B.

11. Проверим напряжения по второму закону Кирхгофа.

= + = 86,55 + j50,08 = 100 e^j30º B.

12. Проверка по балансу мощностей.

∑ S_ист= ∑ S_потрили ∑ P_ист= ∑ P_потр, ∑ Q_ист= ∑ Q_потр

∑ S_ист= ^*, где ^*- сопряженный комплекс тока.

∑ S_ист= 100 e^j30º15 e ^-j9,4º = 1500 e^{j20,6 º}=

= 1500cos20,6º + j1500sin20,6º = 1404+j528 BA;

P_ист= 1404 Вт; Q_ист= 528 вар;

∑ P_потр=R₁ ²+ R₂ ² + R₃ ²= 4( 15² + 8,77² + 7,02² ) = 1404 Вт;

∑ Q_потр=X_L ²-X_С ²= 3( 15² – 7,02² ) = 528 вар.

13. Определим коэффициент мощности.

Cosφ = P / S = 1404 / 1500 = 0,936

14. Построение векторной диаграммы токов и напряжений.

Построить векторную диаграмму, это значит на комплексной плоскости изобразить векторные уравнения токов и напряжений.

= + , где = 100 e^j30º B; = 75 e^j46,4º B; = 35,1 e^–j6,9º B;

= + _, где =15 e ^j9,4º A; =8,77 e ^–j6,9º A; =7,02 e^j30,1º A.

Задача.

U = 100 B, R = 3 Ома, X_C = 4 Ома.

Определить ток, напряжения, мощности, коэффициент мощности и построить векторную диаграмму тока и напряжений

Поскольку схема простая, то можно использовать второй вариант алгоритма расчета.

1. Определим полное сопротивление цепи.

Z = = 5 Ом.

2. По закону Ома определим входной ток.

I = U / Z = 20 A.

2. Определим угол сдвига фаз между входным током и входным напряжением.

φ= - arctg(X_c / R) = - 53º.

Входной ток опережает входное напряжение на 53º.

3. Определим напряжение U₁ и угол сдвига фаз между напряжением U₁ и током.

U₁ = R I = 60 В; φ₁= 0.

4. Определим напряжение U₂ и угол сдвига фаз между напряжением U₂ и током.

U₂ = X_C I = 80 B; φ2 = - 90º

Ток опережает напряжение U₂на 90º.

5. Проверим результат по второму закону Кирхгофа.

U = = 100 B.

6. Определим активную мощность.

P = RI² = 1200 Вт.

7. Определим реактивную мощность.

Q = X_C I² = 1600 вар.

8. Определим полную мощность.

S = = 2000 BA.

9. Определим коэффициент мощности.

Cosφ = P / S = 0,6.

10. Строим векторную диаграмму. В качестве базисного вектора здесь удобно взять вектор тока. Направим его по оси действительных чисел.