Аналоговые регуляторы с отставанием и с опережением по фазе

Регуляторы этого типа находят применение в локальных системах с астатизмом первого порядка. Их передаточная функция имеет вид:

, (4.9)

где и – постоянные времени.

При имеем передаточную функцию регулятора с отставанием по фазе, а при – с опережением по фазе.

На рисунках 4.5 и 4.6 показаны асимптотические частотные логарифмические амплитудные характеристики и фазовые характеристики регуляторов при и соответственно.

Рисунок 4.5

Рисунок 4.6

На рисунке 4.5 видно, что регулятор с запаздыванием ведет себя в области частот приблизительно так, как ведет себя ПИ-регулятор. Однако вносимый им отрицательный фазовый сигнал будет влиять на фазовую характеристику системы с астатизмом и при неправильном выборе постоянной времени может существенно снизить необходимый запас устойчивости.

Регулятор с опережением по фазе, частотные характеристики которого показаны на рисунке 4.6, приблизительно соответствует пропорционально-дифференциальному регулятору (ПД). Регулятор вносит положительный фазовый сдвиг что является благоприятным с точки зрения сохранения необходимого запаса устойчивости по фазе локальной системы. Недостатком регулятора является усиление на высоких частотах, что может приводить к увеличению интенсивности высокочастотных помех и наводок.

4.4 Передаточные функции и структурные схемы цифровых
регуляторов

Регуляторы современных локальных систем реализуют на основе микроконтроллеров, контроллеров и микроЭВМ. В этих случаях пропорциональное управление реализуется по-прежнему коэффициента а интегрирование и дифференцирование выполняют в цифровой форме.

Существуют различные методы цифровой аппроксимации интегралов и производных их дискретными аналогами. Один из них основан на использовании Z-форм. Например операция интегрирования заменяется функцией цифрового интегрирования , операция дифференцирования s – функцией цифрового дифференцирования , где T – период квантования. Используя эти замены в уравнении (4.5), получим цифровую форму передаточной функции ПИД-регулятора:

. (4.10)

Структурная схема цифрового ПИД-регулятора представлена на рисунке 4.7.

Рисунок 4.7

Цифровой регулятор изображают в виде структурной схемы (рисунок 4.8).

Рисунок 4.8

Входной сигнал регулятора является последовательностью чисел , представляющих собой выборку значений сигнала Цифровой регулятор выполняет определенные линейные преобразования последовательности и вырабатывает выходную последовательность в виде квантового сигнала

При применении микропроцессорных устройств в качестве регуляторов существуют определенные ограничения, связанные с конечной длинной слова (ошибкой квантования) и с задержкой на время вычисления и дискретизации при выполнении команд в процессоре. Эти факторы оказывают существенное влияние на качество регулирования и устойчивость системы. При высокой частоте дискретизации нет достоверной информации о сигнале из-за ограниченной разрешающей способности измерительных устройств. Это увеличивает ошибку квантования, и возникает угроза нарушения устойчивости.

При низкой частоте дискретизации процессор получает точную информацию о сигнале и достаточное время для его обработки. Однако появляется временная задержка, что ведет к снижению запасов устойчивости системы. Оценить период дискретизации крайне сложно. Поэтому рекомендуется определять его наилучшее значение путем моделирования системы, например, в вычислительной среде MATLAB.

4.5 Расчет параметров регуляторов непрерывного действия
в одноконтурных системах по критерию качества во временной области

Многие промышленные объекты управления одноконтурных систем описываются передаточной функцией первого порядка с запаздыванием

(4.11)

где – коэффициент передачи в установившемся режиме;

– постоянная времени;

– запаздывание (задержка реакции объекта на единичное ступенчатое
воздействие).

Исполнительные устройства систем содержат жесткую обратную связь по скорости исполнительного двигателя и обратную связь по углу поворота выходного вала редуктора, снижая влияние исполнительного устройства на динамику управляемых процессов. Причем, при постоянной времени двигателя передаточную функцию исполнительного устройства заменяют передаточной функцией безынерционного звена .

Располагая значениями параметров объекта управления и практически безынерционным исполнительным устройством, рассчитывают параметры регулятора по формулам, приведенным в таблицах 4.1, 4.2 и 4.3. Таблицу выбирают на основании требований в форме ограничений на время регулирования, величину перерегулирования, степень затухания переходного процесса, чувствительность переходной функции к изменению отношения и др.

Таблица 4.1 – Параметры регуляторов для системы с минимальным временем

регулирования при отсутствии перерегулирования

Тип регулятора	Kp	Ti	Td
П
ПИ
ПИД

Таблица 4.2 – Параметры регуляторов для системы с минимальным временем
первого полупериода затухающих колебаний при 20%-ном

перерегулировании

Тип регулятора	kp	Ti	Td
П
ПИ
ПИД

Таблица 4.3 – Параметры регуляторов по минимуму чувствительности

переходной функции системы к изменению отношения

при (10…20)%-ном перерегулировании

Тип регулятора	kp	Ti	Td
П
ПИ
ПИД

Тип регулятора из таблицы выбирают ориентируясь на величину отношения запаздывания к постоянной времени объекта Т_об. При ( /Т_об) < 0,2 рекомендуется выбирать пропорциональный П-регулятор, при 0,2 ≤ ( /Т_об) < 1 – ПИ– или ПИД-регулятор, а при ( /Т_об) ≥ 1 – специальный ПИД-регулятор с блоками для предсказания будущего поведения объекта управления.

Значения параметров регулятора, полученные по приведенным в таблицах формулам, следует рассматривать как отправные. Используя simulink, их необходимо уточнить с учетом особенностей реализации локальной системы.

Пример. Объект с запаздыванием описывается передаточной функцией (4.11). Параметры передаточной функции имеют следующие значения: Т_об = 300 с; k_об = 0,32; =125 с. Определите желаемую передаточную функцию регулятора, обеспечивающего минимальное время первого полупериода затухающих колебаний при 20 %-м перерегулировании.

Расчет.

Для отношения ( /Т_об) = (129/300) = 0,43 и условия 0,2 < /Т_об < 1 выбираем ПИ-регулятор. Параметры регулятора находим по формулам таблицы 4.2:

– коэффициент передачи

– постоянная интегрирования

При расчете параметров регулятора предполагалось, что передаточная функция объекта с запаздыванием точно известна. Однако в лучшем случае она известна с точностью до параметров, которые могут отличаться от реальных значений. В частности представляет интерес исследовать реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие для постоянных (расчетных) значений параметров регулятора и различных отношений /Т_об из диапазона значений [0,2…0,8] для объекта.

Для удобства определения реакции системы с помощью simulink введем безразмерное время t*= t, т. е. сжимаем время решения задачи. При этом в передаточных функциях регулятора и объекта осуществляем подстановку: В этом случае передаточная функция разомкнутой системы

(4.12)

принимает вид

(4.13)

Подставим в выражение (4.13) значение параметра

Кроме того, воспользуемся разложением

(4.14)

В результате получим передаточную функцию модели разомкнутой системы

(4.15)

которую удобно использовать при компьютерном исследовании системы замкнутой единичной отрицательной обратной связью.

4.6 Расчет регуляторов одноконтурных системах по критериям
качества в частотной области

Расчет связан с решением следующих задач: синтезом желаемой передаточной функции разомкнутой системы на основе свойств системы в частотной области; определением передаточной функции регулятора; реализацией регулятора с учетом реальных условий его применения; проверкой показателей качества переходного процесса.

Решение задач получим для систем, которые в разомкнутом состоянии без регулятора (W_р(s) = 1) имеют передаточную функцию

(4.16)

где К – общий коэффициент усиления системы в разомкнутом состоянии.

Хотя передаточная функция имеет простой вид, тем не менее, она часто встречается в системах, осуществляющих механическое движение рабочих органов объектов необходимое для выполнения рабочего процесса. Выходной координатой этих систем является угол поворота выходного вала системы, а входной, определяющей требуемое значение угла выходного вала, может быть угол поворота задатчика, напряжение, управляющая программа и т. д.

Характерной особенностью систем является их подверженность возмущениям, возникающим в процессе выполнения механических движений и нарушающим управление этими движениями.

Синтез желаемой передаточной функции разомкнутой локальной системы. На начальном этапе синтеза желаемую передаточную функцию W_ж(s) выбирают по виду передаточной функции W(s) разомкнутой нескорректированной системы, состоящей из функционально необходимых элементов, например в соответствии с передаточной функцией (4.16) выбирают передаточную функцию

, (4.17)

где К_ж, Т₁, Т₂, Т₃ – желаемые значения общего коэффициента усиления разомкнутой системы и постоянных времени, удовлетворяющие требованиям устойчивости, точности установившихся режимов работы к качеству переходных процессов.

Параметры желаемой передаточной функции (4.17) рассчитывают обычно по методике В. А. Бесекерского, используя в качестве исходных следующие данные:

− максимальное установившееся значение статического момента сопротивления нагрузки, приведенного к валу исполнительного двигателя ;

− максимальная угловая скорость нагрузки W_max;

− максимальное угловое ускорение нагрузки e_max;

− допустимое установившееся значение ошибки d_max при движении с постоянной скоростью, равной W_max, и статическом моменте М_С.Н;

− коэффициент наклона механических характеристик двигателя с редуктором g₀ = g_Дi^-1;

− показатель колебательности М.

Расчет можно упростить, если с помощью приведенных ниже формул определить величины, характеризующие частотные свойства системы

–контрольная частота

; (4.18)

− добротность системы по скорости

; (4.19)

– условная добротность системы по ускорению

(4.20)

– базовая частота

. (4.21)

Расчет параметров. Расчет общего коэффициента усиления К_ж и первой наибольшей постоянной времени Т₁ можно осуществить различным образом.

Вариант первый. Выбираем

. (4.22)

Тогда требуемое значение коэффициента К_ж должно удовлетворять условию

. (4.23)

При этом базовая частота w₀ принимает значение

. (4.24)

Вариант второй. Выбираем

. (4.25)

В этом случае желаемый коэффициент усиления разомкнутой системы или добротность по скорости имеет минимально возможное значение

, (4.26)

что благоприятно сказывается на помехозащищенности системы. Однако при этом возрастает условная добротность по ускорению

, (4.27)

а следовательно, и базовая частота

, (4.28)

что приводит к сложному алгоритму работы регулятора.

Вариант третий. Выбираем

. (4.29)

При этом условная добротность по ускорению будет минимальной

. (4.30)

Минимальную величину принимает и базовая частота , что благоприятно сказывается на реализации алгоритма работы регулятора. В то же время общий желаемый коэффициент усиления разомкнутой системы возрастает в два-три раза по сравнению с минимальным значением, равным К_W:

. (4.31)

Увеличение К_ж может быть нежелательным при работе системы в условиях помех на входе системы или действующих внутри системы.

Для любого варианта постоянные времени Т₂ и Т₃ рассчитывают по следующим формулам

; (4.32)

. (4.33)

Отношение постоянных времени

(4.34)

характеризует запасы устойчивости системы и перерегулирование в переходных режимах работы. Обычно это отношение должно лежать в пределах [6…12].

Пример. Рассчитать параметры желаемой передаточной функции (4.17) по следующим исходным данным:

= 0,2 Н×м; W_max = 0,32 рад/с; e_max = 0,27 рад/с²; g₀ = 0,4 рад/нмс; М = 1,26; d_max = 8 угловых минут.

Расчет.

Контрольная частота

с^–1.

Добротность системы по скорости

с^–1.

Условная добротность системы по ускорению

с^–1.

Базовая частота с^–1.

Дальнейший расчет проводим для следующих двух вариантов общего коэффициента К_ж и наибольшей постоянной времени Т₁.

Вариант первый. Пусть с.

Тогда с^–1. Принимаем с^–1.

Находим базовую частоту с^–1.

Постоянные времени

с;

с.

Желаемая передаточная функция

.

Вариант второй. Пусть постоянная времени с.

Тогда с^-1. Принимаем с^–1.

Постоянные времени при

с;

с.

Желаемая передаточная функция

.

Расчет регуляторов. Задача состоит в том, чтобы не только усилить сигнал ошибки регулирования U_d, но и придать системе желаемые динамические свойства W_ж(s). Это означает, что регулятор должен обладать передаточной функцией вида

, (4.35)

где K_р – коэффициент преобразования (усиления) регулятора;

N(s) – дробно-рациональная физически реализуемая функция.

Коэффициент преобразования K_р можно определить из условия K = K_ж, подставив в него значение K = K_Д K_р K_П K_ДВ i^–1:

, (4.36)

Функцию N(s) получают путем деления желаемой передаточной функции W_ж(s) на передаточную функцию исходной системы W(s) при K = K_ж:

. (4.37)

Подставив в формулу (4.37) выражения (4.16) и (4.17), получим

, (4.38)

где знак (') означает, что постоянная времени является постоянной времени регулятора и, вообще говоря, должна быть численно равна электромеханической постоянной времени исполнительного двигателя Т_м.

Физическая реализуемость функции N(s) с помощью RC-фильтров. Реализация функции N(s) в виде электрического четырехполюсника, расположенного перед управляемым силовым преобразователем, показана на рисунке 4.9.

Рисунок 4.9

Фильтр на входе разделительного усилителя описывается передаточной функцией

, (4.39)

где

; . (4.40)

Передаточная функция фильтра, подключенного к выходу разделительного усилителя, имеет вид

, (4.41)

где

; ; . (4.42)

Видно, что второй фильтр ослабляет сигнал в G раз. Чтобы скомпенсировать это ослабление, разделительный усилитель должен обеспечивать усиление, равное 1/G.

Реализация с помощью ПИД-регулятора. Передаточную функцию (4.38) преобразуем к следующему виду

. (4.43)

Выражение, заключенное в квадратные скобки, представляет собой передаточную функцию классического ПИД–регулятора.

Дифференцирующее звено в выражении (4.43) обычно реализуют совместно с фильтром верхних частот. Передаточная функция физически реализуемого дифференцирующего звена имеет вид

, (4.44)

где , а постоянную времени Т_ф выбирают так, чтобы можно было пренебречь влиянием фильтра на запасы устойчивости и динамику системы. Обычно Т_ф выбирают из условия Т_ф ≤ (0,1…0,15)Т₃.

Зная Т_d и Т_ф, можно вычислить отношение постоянных времени

, (4.45)

а передаточную функцию (4.44) представить в следующем виде

. (4.46)

Тогда выражение (4.43) при стандартных обозначениях Т₁ = Т_i; с учетом (4.46) принимает вид

. (4.47)

Структурная схема физически реализуемого ПИД-регулятора, построенная в соответствии с выражением (4.47), показана на рисунке 4.10.

Рисунок 4.10

Расчет регуляторов в двухконтурной системе. Структурная схема системы показана на рисунке 1.2. Внутренний контур с регулятором Р2 в цепи местной обратной связи позволяет упростить передаточную функцию (4.37) регулятора Р1 в прямой цепи управления.

Действительно, анализ параметров желаемой передаточной функции (4.17) показывает, что постоянная времени Т₁ и Т₂ определяются только параметрами движения нагрузки и требованиями к показателю колебательности системы и никак не зависят от параметров исполнительного устройства. Поэтому для прямого управления подходящим является регулятор Р1 с отставанием по фазе

где

Вид передаточной функции регулятора Р2 в цепи обратной связи осуществляется следующим образом. Если в исполнительном устройстве обратной связью охватывают силовой преобразователь и двигатель, имеющие передаточную функцию

где K₀₁ = K_ПK_ДВ, то в цепи обратной связи выбирают регулятор пропорционального действия с передаточной функцией

В этом случае результирующая передаточная функция контура определяется выражением

(4.48)

или

(4.49)

где новые параметры имеют вид

(4.50)

(4.51)

Для расчета коэффициента K_Р2 целесообразно в формуле (4.51) положить что эквивалентно сокращению нуля и полюса в передаточной функции (4.38). Тогда получим

(4.52)

Из формулы (4.50) следует, что регулятор обратной связи пропорционального действия в (1 + K_ПK_ДВ K_Р2) уменьшает коэффициент передачи исполнительного устройства. Поэтому во столько раз необходимо увеличить коэффициент передачи регулятора Р1 в прямой цепи управления.

Функции регулятора обратной связи пропорционального действия обычно реализуют на базе техогенератора с делителем напряжения, как показано на рисунке 4.11.

В том случае, когда охватываемая обратной связью функциональная часть исполнительного устройства имеет передаточную функцию

(4.53)

рекомендуется в цепи обратной связи использовать регулятор с опережением по фазе

(4.54)

Параметры регулятора рассчитывают по следующим формулам:

(4.55)

(4.56)

(4.57)

где Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ и K_Ж являются параметрами желаемой передаточной функции.

На рисунке 4.12 показана схема, реализующая функции регулятора с опережением по фазе.

Рисунок 4.11 Рисунок 4.12

Выше при выборе регуляторов и расчете их параметров предполагалось, что локальная система обладает достаточным запасом устойчивости и точностью регулирования в условиях постоянного действующего момента сопротивления нагрузки. При этом погрешность, вносимая моментом сопротивления, не превышает заданного значения. Однако двухконтурные системы в установившемся режиме работы позволяют свести эту погрешность к нулю. Необходимо лишь перестроить структурную схему системы. Один из вариантов схемы показан на рисунке 4.13, где K_д.с – передаточный коэффициент датчика скорости.

Рисунок 4.13

Пусть Выбираем тогда передаточная функция внутреннего контура по возмущению М_С.Н принимает вид

(4.58)

где новая постоянная времени

Появление оператора s в числителе передаточной функции (4.58) указывает на то, что система обладает астатизмом первого порядка по отношению к внешним возмущения. Постоянные во времени внешние моменты М¢_с.н не сказываются на точности отработки заданного задающего воздействия в установившемся режиме.

Вопросы для проверки усвоения материала

1 Поясните назначение регулятора в локальных системах автоматики.

2 Поясните назначение пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющей в ПИД-регуляторе.

3 Как влияет интегральная составляющая ПИ и ПИД-регулятора на качество переходных процессов в локальных системах?

4 В каких случаях находят применение регуляторы с отставанием и с опережением по фазе?

5 Из каких соображений выбирают закон регулирования промышленных объектов первого порядка с запаздыванием по критериям во временной области?

6 Приведите методику расчета регуляторов одноконтурных систем по критериям в частотной области.

Заключение

Пособие охватывает наиболее важные вопросы проектирования локальных систем автоматики.

Основное внимание уделяется выбору элементов и расчету их статических и динамических характеристик, обеспечивающих требуемое качество системы и с которых, как правило, начинается проектирование. При этом подчеркивается необходимость учета конечной точности измерительных устройств, чувствительности исполнительного механизма к внешним возмущениям, естественных ограничений на переменные состояния системы в переходных режимах, запаздывания реакции объекта на управляющие воздействия.

Рассмотрены формы регуляторов и методы расчета их параметров. Эти методы до сих пор остаются основными, несмотря на множество других методов, имеющих преимущества для систем конкретного применения.

Надеемся, что весьма сжатые сведения в учебном пособии являются достаточными для того, чтобы без затруднений перейти к более глубокому изучению соответствующих тем в опубликованных источниках, например, перечисленных ниже в списке литературы.

Пособие может быть использовано для индивидуального изучения и самостоятельного выполнения задания по курсовому проекту. В то же время оно будет полезно для преподавания различных курсов в области автоматизации.

Список литературы

1 Солодовников, В. В. Основы теории и элементы систем автоматичес-кого регулирования / В. В. Солодовников, В. Н. Плотников, А. М. Яковлев. – М. : Машиностроение, 1985.

2 Основы проектирования следящих систем / под ред. Н. А. Лакоты. – М. : Машиностроение, 1978.

3 Гудвин, Г. К. Проектирование систем управления / Г. К. Гудвин, С. Ф. Гребе, М. Э. Сальгадо. – М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.

4 Дорф, Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп; пер. с англ. Б. И. Копылова. – М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2002.

5 Герман-Галкин, С. Г. Matlab & Simulink: Проектирование мехатронных систем на ПК / С. Г. Герман-Галкин. – М. : Корона-Век, 2008.

6 Терехов, В. М. Системы управления электроприводов / В. М. Терехов, О. И. Осипов. – М. : Академия, 2005.

7 Белов, М. П. Автоматизированный электропривод типовых произ-водственных механизмов и технологических комплексов : учебник для вузов / М. П. Белов, В. А. Новиков, Л. Н. Рассудов. – М. : Академия, 2004.

8 Козярук, А. Е. Современное и перспективное алгоритмическое обеспе-чение частотно-регулируемых электроприводов / А. Е. Козярук, В. В. Рудаков, А. Г. Народицкий. – СПб. : СПЭК, 2004.

9 Клевцов, А. В. Преобразователи частоты для электроприводов переменного тока / А. В. Клевцов. – Тула : График и к, 2008.

10 Системы программного управления промышленными установками и робототехническими комплексами / Б. Г. Коровин [и др.]. – Л. : Энергоатом-издат, 1990.

11 Руководство по проектированию систем автоматического управления / под ред. В. А. Бесекерского. – М. : Высш. шк., 1984.

12 Красовский, А. Я. Расчет многоконтурных систем управления электро-приводами / А. Я. Красовский, М. К. Хаджинов. – Минск : БГУИР, 1996.