Свойства обратных матриц

1) (A^-1)^-1 = A;

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

= 4 – 6 = – 2

А₁₁ = 4; А₁₂ = – 3; А₂₁ = – 2; А₂₂ = 1

Таким образом, .

Упражнение. Найти обратные для следующих матриц и проверить результат:

а) , б) , в) .

Ранг матрицы

Ранее для квадратной матрицы -го порядка было введено понятие минора элемента . Так был назван определитель порядка , полученный из определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Введем теперь общее понятие минора. Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную матрицу . Выберем какие-нибудь номеров строк и номеров столбцов .

Минором порядка матрицы (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка , образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число

.

Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка , сколькими способами можно выбрать номера строк и столбцов .

В матрице размеров минор порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет, т.е. совпадает с меньшим из чисел m или n.

Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают нулем.

Ранг матрицы обозначается символом или RgA. Из определения ранга следует, что для матрицы размеров справедливо соотношение .