Идея практического метода вычисления ранга матрицы

заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к виду

,

в котором «диагональные» элементы отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Матрица такого вида называется треугольной (или трапециевидной). После приведения матрицы к треугольному виду можно сразу записать, что .

В самом деле, (т.к. элементарные преобразования не меняют ранга). Но у матрицы существует отличный от нуля минор порядка :

,

а любой минор порядка содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.

Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицы следует с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду . Тогда ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк в полученной матрице .

Пример. Определить ранг матрицы.

~ ~ , RgA = 2.

Пример: Определить ранг матрицы.

~ ~ ~ , Rg = 2.

Пример. Определить ранг матрицы.

~ , Þ Rg = 2.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Упражнение. Найти методом элементарных преобразований ранг матрицы

.