Закон ламинарной фильтрации

Второй особенностью грунтов как дисперсных (мелкораздробленных) пористых тел является их водопроницаемость, т. е. способность фильтровать воду. Фильтрация в грунтах зависит от степени уплотнения грунтов, а для туго-пластичных, полутвердых глин—и наличия началь­ного градиента напора, преодолев который, лишь начинается движение воды.

Рис. 21. Схема фильтрации воды в грунтах

Движение разных видов воды в грунтах происходит под влиянием различных (в зависимости от связанности частиц воды с минеральным скелетом) факторов: парообразной - под действием разности упругости водяного пара различных точек грунта (зависящей от их температуры); пленочной - под действием разности осмотических давлений, капиллярной - под действием разности сил всасывания (адсорбционных) и, наконец, гравитационной - под действием разности напоров воды.

Обобщая, можно сказать, что для движения воды необходим некоторый градиент напора, вызываемый теми или иными физическими причинами.

Напорное движение воды в грунтах изучается как в теории движения грунтовых вод, очень важной для гидротехники, так и в механике грунтов, где величина напоров определяется не только расположением точек грунта от нулевого уровня (рис. 21), но и величиной внешнего давления от сооружения, которое также вызывает напорное движение свободной и рыхлосвязанной поровой воды.

Скорость напорного движения грунтовых вод зависит от размеров пор грунта, сопротивлений по пути фильтрации и величины действующих напоров.

Если линии токов воды (движения частиц воды в потоке) нигде не пересекаются друг с другом, то такое движение называется ламинарным; при наличии же пересечений и завихрений движение будет турбулентным.

В грунтах, как показывают соответствующие опыты (Дарси, Н. Н. Павловского), в большинстве случаев движение вод будет ламинарным.

Ламинарное движение воды происходит с тем большей скоростью, чем больше так называемый гидравлический градиент i или в простейшем случае уклон tg j поверхности уровня грунтовых вод (рис. 21).

Гидравлический градиент равен отношению потери напора H₂ - H₁, к длине пути фильтрации L, т. е.

i = (H₂ – H₁)/L, (46)

или, вводя обозначение «действующий напор»

H=H₂ – H₁, (47)

будем иметь

i=H/L. (48)

По Дарси, расход воды в единицу времени через единицу площади поперечного сечения грунта, или так называемая скорость фильтрации υ_ф, прямо пропорционален гидравлическому градиенту i, т. е.

υ_ф = k_ф i (49)

где k_ф - коэффициент фильтрации, равный скорости фильтрации при градиенте, равном единице (имеет размерность см/с, см/год и т. п.).

Экспериментальная зависимость (49) скорости фильтрации от гидравлического градиента носит название закона ламинарной фильтрации (Дарси, 1885).

В механике грунтов движение воды изучается, главным образом, при действии напоров, вызываемых в поровой воде внешней нагрузкой, которая также выражается высотой столба воды, пользуясь зависимостью

H=p/γ_ω, (50)

где γ_ω=0,001 кгс/см³ - объемный вес воды.

Так, например, внешнему давлению (нагрузке) р= ,5 кгс/см² (~ 0,15 МПа) соответствует действующий напор, равный

H= ,5/0,001=1500 см=15 м. (51)

Приведем средние величины коэффициентов фильтрации для однородных (без каверн) глинистых грунтов при выжимании (фильтрации) в них воды под давлением около 1 - 2 кгс/см² (~ 0,1 - 0,2 МПа):

Супеси k_ф = r · 10^-3 ÷ r · 10^-6 см/с

Суглинки k_ф = r · 10^-5 ÷ r · 10^-8 см/с

Глины k_ф = r · 10^-7 ÷ r · 10^-10 см/с

где r означает любое число от 1 до 9.

Конечно, приведенные величины будут отличными от величин коэффициентов фильтрации, полученных методом полевых откачек.

В расчетах по механике грунтов (например, при прогнозе скорости осадок водонасыщенных грунтов), чтобы избежать столь малых величин, часто выражают коэффициент фильтрации в см/год, причем можно принимать 1 см/с ≈ 3 · 10⁷ см/год.

О начальном градиенте в глинистых грунтах.Фильтрация воды в вязких глинистых грунтах имеет свои особенности, вызванные малыми размерами пор и вязким сопротивлением водно-коллоидных пленок, обволакивающих минеральные частицы грунтов. Чем тоньше водно-коллоидные пленки, что имеет место у уплотненных глинистых грунтов, тем большее сопротивление они оказывают напорному движению воды как вследствие большой вязкости водно-коллоидных пленок (по М. П. Воларовичу), так и их упругости (пр Б. В. Дерягину). Согласно исследованиям С. А. Роза и Б. Ф. Рельтова, фильтрация воды в вязких (тугопластичных) глинистых грунтах начинается лишь при достижении градиентов напора некоторой начальной величины, преодолевающей внутреннее сопротивление движению, оказываемое водно-коллоидными пленками.

Рис. 22. Зависимость скорости фильтрации υ_ф от градиента напора i: I – для песка; II – для глины (в разных масштабах)

На рис. 22 показаны экспериментально найденные зависимости скорости фильтрации υ_ф от гидравлического градиента i: для песков - кривая I, и для глин - кривая II (масштаб υ_ф для глин увеличен на несколько порядков).

На кривой II можно различать три участка: начальный 0-1, когда скорость фильтрации практически равна нулю (υ_ф=0); переходный 1-2 - криволинейный и, наконец, 2-3 - прямолинейный - установившейся фильтрации, когда скорость фильтрации пропорциональна действующему градиенту.

Для последнего участка (основного)

υ_ф = k’_ф (i – i’₀), (52)

где i’₀ - начальный градиент напора для данной глины.

Отметим, что ввиду неопределенности в очертании и незначительности по величине переходного участка 1-2 можно принимать пересечение продолженной наклонной прямой 3-2 с осью i за величину начального градиента напора.

Следует указать, что учет закономерности (52) при прогнозе осадок уплотнения вязких глинистых грунтов под действием внешней нагрузки (давления) от возводимых сооружений весьма существенно сказывается на величине прогнозируемых осадок и позволяет точнее подойти к их оценке.

Эффективные и нейтральные давления в грунтовой массе.При исследовании сжатия грунтовой массы рассматриваются две система давлений: 1 - давления в скелете грунта p_z и 2 - давления в поровой воде p_ω. Первые называются эффективными давлениями, так как они эффективно действуют на грунтовые частицы, уплотняя и упрочняя грунт; вторые - нейтральными давлениями, так как они (по проф. Л. Рендулику) не уплотняют и не упрочняют грунт, а создают лишь напор в воде, вызывающий ее фильтрацию.

Для любого момента времени в полностью водонасыщенной грунтовой массе имеет место соотношение

p=p_z + p_ω, (53)

т. е. полное давление равно сумме эффективного и нейтрального давлений.

Рис. 23. Схемы приборов, поясняющие две системы давлений в водонасыщенных грунтах: а – схема передачи давлений на скелет грунта; б – модель сжатия грунтовой массы (нагрузка вначале вся передается на воду, затем, по мере сжатия, на скелет грунта)

С изменением одного из слагаемых (при постоянном внешнем давлении р) меняется и другое слагаемое.

Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим давление в тонком слое грунтовой массы, уложенной в цилиндрический сосуд (рис. 23, а).

Если к поверхности грунта приложить нагрузку интенсивностью р кгс/см⁸ (МПа) при помощи дырчатого штампа или слоя свинцовой дроби, то под действием нагрузки произойдет уплотнение грунта и увеличится его сопротивление сжатию, сдвигу и т. п., т. е. нагрузка будет эффективно действовать на слой грунта.

Если же в сосуд вместо дроби налить воду на такую высоту (h=p/γ_ω), чтобы давление оставалось прежним, то, как показано опытами проф. Л. Рендулика (1936), давление от налитой воды передастся только на поровую воду, увеличив напор ее, и не скажется на уплотнении грунта, т. е. будет нейтральным давлением.

Отметим, что эффективное давление р_г всегда передается только через точки и площадки контактов твердых частиц, а нейтральное p_ω - через поровую воду, и, если оно положительно (сверх гидростатического), то называется паровым давлением.

Понятие об эффективном и нейтральном давлениях распространяют и на любые нормальные напряжения, действующие в водонасыщенных грунтах. В общем случае можно написать

σ=σ’+u, (54)

откуда

σ’=σ – u, (55)

т. е. эффективное напряжение σ’ в любой точке водонасыщенного грунта равно разности между полным σ и нейтральным u напряжениями.