Распределение давлений по подошве сооружений, опирающихся на грунт (контактная задача)

Вопрос о распределении давлений по подошве сооружений имеет большое практическое значение, особенно для гибких фундаментов, рассчитываемых на изгиб.

Если известно реактивное давление по подошве фундамента, которое обычно называют контактным, то, приложив к подошве фундаментной балки его обратную величину, без особого труда находят величину расчетных изгибающих моментов и перерезывающих сил, применяя обычные уравнения статики.

Рис. 25. Схема площади загрузки произвольного вида

Большинство фундаментов сооружений обладает определенной жесткостью. Поэтому важно оценить, как жесткость фундамента сказывается на распределении контактных давлений и давлений в массиве грунта.

Исходным уравнением для решения поставленной задачи является формула Буссинеска для вертикальной деформации линейно деформируемого полупространства от действия сосредоточенной силы:

ω_z = P/πC₀R, (56)

Для произвольной площади нагрузки, приняв обозначения по рис. 25, будем иметь

ω_z = 1/ πC₀ ∫ ∫ (p(ξ, η) dξ dη)/√((x – ξ)² + (y – η)²). (57)

где F – площадь загрузки, по которой должно быть произведено интегрирование.

Деформация грунтов

Грунты, как отмечалось ранее, представляют собой сложнейшие минерально-дисперсные образования, состоящие из разнообразных взаимно связанных частиц, обладающих различными механическими свойствами.

Применение к грунтам общей теории напряжений, разработанной для сплошных упругих тел, требует особого рассмотрения. Так, в любых дисперсных телах внешняя нагрузка передается от одной частицы к другой лишь через точки контакта частиц, которые в большинстве случаев расположены незакономерно или по некоторой структурной сетке.

Возникает вопрос, можно ли считать внутренние усилия в грунтах непрерывно распределенными по достаточно малым площадкам, напряжения в которых мы определяем. Проф. Н. М. Герсеванов (1931) показал, что неточность в определении напряжений в грунтах (например, в глинах) по общей теории сплошных тел не будет большей, чем при определении напряжений в стали, которая также состоит из зерен кристаллов, хотя и весьма малых размеров. Однако определение напряжений в грунтах является значительно более сложной задачей, чем в сплошных телах.

При действии внешней нагрузки отдельные фазы (компоненты) грунтов по-разному сопротивляются силовым воздействиям и по-разному деформируются, что является главнейшей особенностью напряженно-деформированного состояния грунтов.

При общем рассмотрении необходимо изучить напряженно-деформированное состояние как грунта в целом (рассматривая его как квазисплошное и квазиоднофазное тело), так и отдельных его фаз во взаимодействии между собой.

Как показывают новейшие исследования, применявшиеся ранее гипотезы о несжимаемости той или иной компоненты грунта (например, поровой воды) и о мгновенной передаче давления на его скелет опытом не подтверждаются. Кроме того, необходимо учитывать, что деформируемость не только грунта в целом, но и отдельных его фаз (например, твердых частиц) зависит от времени действия нагрузки вследствие явления ползучести.

Общая зависимость между деформациями и напряжениями. Рассмотрим общий случай зависимости относительной деформации ε от величины нормального напряжения σ для грунта в целом. Такое рассмотрение будет полностью справедливо для начального и конечного состояний грунта, когда отсутствует перераспределение фаз в единице его объема (например, когда при уплотнении закончится выдавливание воды из пор грунта). При рассмотрении промежуточных состояний необходимо учитывать процесс консолидации, ползучесть скелета и пр.

При анализе зависимости деформаций от напряжений следует различать, по крайней мере, два видя грунтов: сыпучие и связные.

Для сыпучих грунтов при однократном загружении всегда возникают необратимые смещения и повороты зерен грунта относительно друг друга, что обусловливает постоянное наличие остаточных деформаций.

Для связных грунтов на характер деформирования существенно влияют структурные связи, как жесткие, так и вязкие.

При жестких связях, если величина нагрузки такова, что при ее действии прочность связей не нарушается, грунт будет деформироваться как квазитвердое тело.

При вязких (водно-коллоидных) связях в грунтах некоторые связи начинают разрушаться (или вязко течь) уже при весьма небольших усилиях, другие — при несколько больших и т. д., что и обусловливает и у этих грунтов постоянное наличие при разгрузке не только обратимых, но и остаточных деформаций. Важно отметить, что остаточные деформации часто во много раз превосходят по величине деформации обратимые.

Рис. 26. Зависимость между деформациями ε и нормальными напряжениями σ для грунта при ступенчатом возрастании нагрузки

Природные связные грунты в большинстве случаев имеют и жесткие и часто вязкие связи различной прочности, поэтому процесс деформирования их является весьма сложным. Здесь остановимся на рассмотрении общей зависимости между относительными деформациями ε и нормальным напряжением σ, так как эта зависимость кладется в основу теории распределения напряжений в грунтах и определения их деформаций под действием внешних сил.

В самом общем случае, как показывают многочисленные исследования, зависимость между деформациями и напряжениями для грунтов, при значительных напряжениях, будет нелинейной (рис. 26, пунктирная кривая Oab).

Эту зависимость в общем виде можно представить функцией

ε = α_сσ_с + α_п(σ_п – σ_с)^m (58)

где α_c и α_п - коэффициенты, определяемые опытным путем; σ_{с -} напряжение, непревосходящее начальной прочности структурных связей (σ_с ≤ р_стр); (σ_п - σ_c) = σ - действующее нормальное напряжение, обусловливающее деформации грунта при частичном или полном нарушении структурных связей; т - параметр нелинейности, также определяемый опытным путем.

Величина коэффициента α_с может быть принята равной обратной величине модуля нормальной упругости грунта Е, т. е.

α_с = 1/E. (59)

Что касается коэффициента α_п, то природа его значительно сложней. Если рассматривать только стабилизированные напряжения, то величина этого коэффициента будет зависеть от модуля общей деформации Е₀ грунта, который в общем случае может входить в выражение в некоторой степени r, меньшей или равной единице, а также от коэффициента β, оценивающего способность бокового расширения грунта, т. е. можно принять

α_п = β/E₀ ^r_(z), (60)

где параметр r ≤ 1 также определяется опытным путем.

Если рассматривать деформации грунта при давлениях, больших структурной прочности сжатия, то зависимости (58) можно придать следующий вид:

ε = α_c.пσ^m, (61)

где α_c.п — некоторый общий коэффициент пропорциональности, в простейшем случае равный α_c.п= β/E₀.

Общая зависимость (61) даже в представленной простой форме еще очень сложна для применения на практике.