Законы непрерывных распределений

<18 19 202122 23 24 >

Случайной величины

В теории вероятности используется много законов распределения случайной величины. К ним относятся распределения Лапласа, Коши, Стьюдента, Эрланга и многие другие. Рассмотрим распределения, наиболее часто используемые в горных процессах.

Нормальное распределение. Для износовых отказов характерно нормальное распределение наработки на отказ (шахтные насосы, центрифуги и др.).

Нормальное распределение характеризуется плотностью вероятности (рис.3.2)

, (3.32)

где s² – дисперсия;

f (x)

F(x)

F(x), f(x)

Рис.3.2. Нормальный закон распределения случайной величины

а – математическое ожидание предельного изменения случайной величины х, –¥ < х < ¥.

Функция нормального распределения описывается формулой

. (3.33)

Обозначив , получим , откуда

. (3.34)

Так как , то

, (3.35)

где Ф(Z) – нечетная функция, т.е. Ф(–Z) = – Ф(Z).

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [a, b] составит

Р[a < х < b] = . (3.36)

Пример. Наработка на отказ турбомуфты скребкового конвейера распределяется нормально с параметрами а = 500 ч и s = 100 ч.

Определить вероятность безотказной работы для наработки t₁= 200 ч и t = 700 ч:

;

Ф(–3) = –Ф(3) = –0,4987; Ф(2) = 0,4772;

Р(200) = 1 – F(200) = 1 – (0,5 – 0,4987) = 0,9987;

Р(700) = 1 – F(700) = 1 – (0,5 + 0,4772) = 0,0228.

Логарифмически-нормальное распределение наработки имеют многие невосстанавливаемые изделия, например, подшипники качения. При таком распределении логарифм случайной величины х распределен по нормальному закону.

Плотность вероятности:

(3.37)

или

, (3.38)

где М = 0,43;

s – среднеквадратичное отклонение логарифма случайной величины.

Область возможных значений х лежит в интервале (0, +¥). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины х при логарифмически-нормальном распределении (рис.3.3):

(3.39)

Распределение Вейбулла имеют некоторые объекты, у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения, многие полупроводниковые приборы.

Распределение Вейбулла (рис.3.4) имеет функцию распределения

(3.40)

и плотность вероятности

(3.41)

Рис.3.3. Логарифмически-нормальное распределение случайной величины

Рис.3.4. Распределение Вейбулла

Параметр a оказывает влияние на вид функции распределения и плотность вероятности.

Экспоненциальное распределение. Распределение Вейбулла при b = 1 имеет плотность вероятности

(3.41)

и функцию распределения

. (3.42)

Это распределение называется экспоненциальным и имеет особое значение в теории надежности. Наработка на отказ многих невосстанавливаемых изделий (средств автоматизации и радиоэлектронной аппаратуры и др.), у которых явление износа и старения слабо выражены, распределены экспоненциально.

Вероятность безотказной работы

. (3.43)

Интенсивность отказов

. (3.44)

Поэтому плотность вероятности и функцию распределения при экспоненциальном распределении записывают в виде

. (3.45)

Функция распределения .

Размерность l[с^–1] – количество отказов в единицу времени.

Можно показать, что средняя наработка до отказа и дисперсия .

Пример. Интенсивность отказов гидронасоса комбайна l = 0,0006 ч^–1. Определить вероятность безотказной работы насоса за 300 ч и среднюю наработку до отказа.

Вероятность безотказной работы за 300 ч

Средняя наработка до отказа

ч.

Вероятность безотказной работы при этом распределении зависит только от длины рассматриваемого интервала времени Dt и не зависит от момента времени t, с которого начинается отсчет.

Гамма-распределение. Если устройство состоит из одного рабочего и n резервных элементов, каждый из которых включается в работу после отказа предыдущего, то отказ устройства наступит в тот момент, когда выйдет из строя элемент n + 1.

Если все элементы имеют экспоненциальное распределение с интенсивностью отказов l, то наработка до отказа всего устройства будет иметь g-распределение с параметрами l и m = n + 1.

Плотность распределения случайной величины (рис.3.5) определяется из выражения

, (3.46)

где Г – обозначение g-функции, если m – целое число, то Г(m) = = (m – 1)!

Гамма-распределение наработки и времени восстановления могут иметь некоторые другие объекты, в этом случае m может быть как целым, так и дробным числом.

При m = 1 g-распределение имеет плотность вероятности

, (3.47)

т.е. экспоненциальное распределение является частным случаем g-распределения.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей g-распределение:

(3.48)

Усеченное нормальное распределение. Часто целесообразно использовать такие распределения, полученные путем ограничения интервала возможного значения случайной величины q (рис.3.6).

Рис. 3.5. Гамма-распределение

Минимальная наработка S > 0, максимальная S < r. Интервал наработки [S, r]. Случайное значение t_в также заключено в некотором интервале.

f (t)

f₂(t)

f₁(t)

Рис. 3.6. Усеченное нормальное распределение

Если исходное распределение имеет плотность вероятности f₁(t), а усеченное – плотность вероятности f₂(t), то f₂(t) = сf₁(t). Так как при любом интервале изменения случайной величины , то постоянная с может быть определена из условия