Примеры математических моделей теории надежности.

Модель надежности системы - математическая модель, устанавливающая связь между показателями надежности системы, характеристиками надежности элементов, его структуры и параметрами ее процесса функционирования.

Модель отказа - математическое описание физических и (или) химических процессов, составляющих механизм отказа.

Модели, построение которых позволит раскрыть процессы распределения отказов и даст возможность оценить надежность систем на стадии проектирования, эксплуатации, должны учитывать степень опасности, то есть возможность сравнения с нормами надежности.

Одна из классификаций моделей надежности включает в себя модели применительно к постепенным и внезапным отказам для невосстанавливаемых и восстанавливаемых систем однократного и многократного использования, то есть различают две группы моделей надежности:

- модели надежности, учитывающие постепенные отказы. При них протекание различных процессов повреждения приводит к изменению во времени отказоопасного параметра. Обычно удается ограничиться 1-2 параметрами. Характерным примером постепенных отказов являются случаи воздействия износа и старения на состояние работоспособности;

- модели надежности, учитывающие внезапные отказы. Причина возникновения внезапных отказов не связана с изменением состояния систем в период времени его предыдущей работы или хранения, а зависит от уровня внешних воздействий, связана с неблагоприятным сочетанием внешних факторов, то есть построение моделей связано с условиями эксплуатации системы, режимами работы, с вероятностью возникновения экстремальных нагрузок.

В модели надежности системы находят отражение только те свойства или характеристики элементов и только те их взаимные связи в системе, которые являются существенными с позиции надежности. Модели надежности систем подразделяются на модели параметрические и на модели в терминах отказов элементов. Параметрические модели надежности (как правило характерны для простых систем) строятся на представлении выходной характеристики в виде функции случайных параметров элементов (параметры как случайные функции времени). Система считается не отказавшей, если ее выходные параметры в течение заданного времени находятся в установленных пределах. Модели в терминах отказов элементов являются основными при исследовании надежности сложных систем. Модель отражает при четком определении понятия отказа для всех элементов системы влияние отказов элементов системы на надежность системы.

По принципам построения модели подразделяются на:

- аналитические (для простых задач определения зависимостей между параметрами системы и показателями надежности);

- статистические (при взаимодействии большого числа факторов, при решении сложных задач);

- комбинированные (аналитические модели для частей задачи и статистические модели задачи в целом).

Модели надежности элементов по степени детализации учета факторов подразделяются на:

- модели типа "нагрузка-прочность" (в качестве нагрузок рассматриваются тепловые, механические, электрические, радиационные и др.);

- модели типа "распределение времени".

Из множества законов распределения случайных величин, разработанных в теории вероятностей, наибольшее значение для теории надежности имеют пять законов:

-экспоненциальный,

-нормальный,

-Вейбулла,

-Пуассона,

-биномиальный.

Для описания сложных многофункциональных систем применяются комбинации этих законов.

Экспоненциальное распределение (для непрерывных случайных величин). Является одним из самых простых и удобных законов распределения для анализа надежности сложных многоэлементных технических систем при оценке их работы на малых интервалах времени, сопоставимых со временем выполнения задания, и когда каждому задействованию системы предшествует строго регламентированное техническое обслуживание.

Нормальное распределение (закон Гаусса). Закон занимает исключительное место в теории надежности:

- как средство описания случайных событий износа и старения для малоэлементных простых систем;

- он является пределом, к которому при стремлении к бесконечности числа испытаний приближаются другие законы;

- ему подчиняются независимые случайные величины, сумма которых чем больше, тем точнее подчинение нормальному закону.

Распределение Вейбулла (для непрерывных случайных величин). Распределение Вейбулла было получено экспериментально. Может быть использовано для описания безотказности объектов в течение всех трех типовых периодов эксплуатации: приработка, установившаяся эксплуатация и старение. Используется для исследования распределения ресурсов и сроков службы. Распределение Вейбулла как частный случай при m = 1 включает распределение экспоненциальное, Релея, близкое к нормальному.

Распределение Пуассона (для дискретных случайных величин). Это распределение используется в теории надежности, когда представляет интерес появление некоторого дискретного числа одинаковых событий. Появлению каждого события (отказа) соответствует некоторая точка на временной шкале.

Биномиальное распределение - распределение Бернулли (для дискретных случайных величин). Часто используется для определения вероятности дискретных случайных величин, положительных и целых, таких случайных событий, как общее число неудачных исходов в последовательности n испытаний.

Биномиальное распределение применяется при статистическом контроле качества выборки изделий (не больше 10 % от объема всей партии) или при определении количества отказов невосстанавливаемых изделий в течение заданного времени при испытаниях. При очень малых значениях q биномиальное распределение может быть заменено распределением Пуассона (nq < 0,2), а при больших значениях (nq > 20) - нормальным распределением.

В зависимости от наличия статистической информации об отказах изделия в теории надежности используются теоретические (см. выше), либо статистические описательные модели (например, в виде гистограмм), которые строятся на основе математического описания истинных механизмов, процессов, влияющих на отказ. Теоретические модели позволяют описать явления во всем диапазоне его возможного развития и изучать поведение системы в условиях, в которых еще не были поставлены эксперименты. Теоретические модели, следовательно, могут быть отнесены к прогнозным моделям.

Для обоснованного выбора типа теоретического распределения времени наработки на отказ целесообразно использовать статистическую информацию по отказам. Выбранному теоретическому распределению времени наработки должна соответствовать определенная модель приближения изделия к отказу. Выявление такого соответствия зависит от вида и назначения исследуемых изделий.

Контрольные вопросы

1. Какие измеряемые параметры в определении надежности вы знаете?

2. Какие специфические особенности вопросов надежности рассматриваются?

3. С чем связано абсолютное изменение качества?

4. С чем связано относительное изменение качества?

5. Какие трудности возникают при оценке надежности машин?

6. С чем связаны проблемы надежности?

7. Какие направления развития науки и исследований по надежности, вы заете?

8. На каких науках базируется теория надежности?

9. Как изменяется экономическая эффективность машины во времени?

10. Понятия случайных: события, величины, процесса, закона.

11. Сущность закона распределения случайной величины.

12. Для чего производятся расчеты надежности?

13. Классификация видов расчетов надежности?

14. Какие основные методы расчетов надежности, вы знаете?

15. Опишите метод структурных схем.

16. Этапы построения структурных схем.

17. Опишите метод логических схем.

18. Опишите порядок определения вероятности безотказной работы при методе логических схем.

19. Опишите схемно-функциональный метод.

20. Опишите матричный метод.

21. Опишите метод графов.

22. Расчет надежности простых систем методом структурных схем.

23. Количественные показатели надежности.

24. Способы резервирования и методы расчета надежности при различном резервировании.

25. Направления совершенствования расчетных методов.

26. Понятие параметрической надежности.

27. Виды математических моделей надежности.

28. Этапы математического моделирования надежности.

29. Охарактеризовать микроуровни; макроуровни и метауровни математического моделирования.

30. Классификация математических моделей надежности.

31. Характеристика наиболее значимых законов распределения случайных величин, разработанных в теории вероятностей.