Математические модели теории надежности

И их примеры

Математические модели надежности могут быть разбиты на две группы:

1. Структурные модели. Они основаны на логических схемах взаимодействия элементов, входящих в систему, с точки зрения сохранения работоспособности системы в целом. При этом используют статическую информацию о надежности элементов без привлечения сведений о физических свойствах материала, деталей и соединений, о внешних нагрузках и воздействиях, о механизмах взаимодействия между элементами. Структурные модели представляют в виде блок-схем и графов (например, деревьев отказов, деревьев событий), а исходную информацию – в виде известных значений вероятности безотказной работы элементов, интенсивности отказов и т.п.

2. Математические модели теории надежности, учитывающие механические, физические и другие реальные процессы, которые ведут к изменению свойств объекта и его составляющих. Таковы модели механики, широко применяемые в расчетах машин и конструкций. Силовое и кинематическое взаимодействие элементов машин и конструкций носит сложный характер. Поведение этих объектов существенным образом зависит от их взаимодействия с окружающей средой, от характера и интенсивности процессов эксплуатации.

Для предсказания поведения деталей и элементов машин необходимо рассматривать процессы нагружения, деформирования, изнашивания, накопления повреждений и разрушения при переменных нагрузках, температурных и других внешних воздействиях. Оценить показатели надежности систем можно расчетно-теоретическим путем, основанным на физических моделях и статических данных относительно свойств материалов, нагрузок и воздействий.

Математическая модель – совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д.) и связей между ними, отражающих важнейшие свойства технической системы: логической, учитывающей возможные состояния системы, пути и интенсивности переходов из одного состояния в другое, или функциональной, содержащей границы допуска на определяющие параметры и зависимости этих параметров от случайных возмущений и процессов в элементах.

Математическое моделирование – процесс создания имитирующей математической модели и ее использования с целью получения сведений о реальном объекте.

Математическое моделирование является альтернативой физическому моделированию, но у него есть ряд существенных достоинств: меньшие сроки на подготовку, значительно меньшая материалоемкость, возможность выполнения экспериментов на предельных и запредельных режимах и другое.

Для моделирования необходимо определить:

- исследуемую техническую систему;

- границы моделирования;

- основные переменные;

- константы;

- показатели эффективности;

- подобрать подходящую модель;.

- описать ее на математическом языке, доказать адекватность модели реальному объекту;

- спланировать и провести эксперимент;

- обработать результаты.

Математическое моделирование большинства технических (объектов) систем можно выполнить: на микроуровне; макроуровне; метауровне.

На микроуровне математической моделью технической системы является система уровней, описывающая процессы и явления в материалах и средах с заданными краевыми условиями. Сама система уравнений обычно известна (уравнения для нагружения толстостенного сосуда), но ее точное решение удается получить лишь для некоторых частных случаев, поэтому задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели, при этом приходится при моделировании достаточно сложных технических объектов принимать ряд допущений и упрощений и переходить к моделированию на макроуровне.

В основе математических моделей на макроуровне лежат компонентные уравнения отдельных элементов и топологические уравнения, вид которых определяется связями между элементом и технической системой. Для получения топологических уравнений используются формальные методы: обобщенный, табличный, узловой, переменных состояний.

На метауровне моделируются в основном технические объекты, являющиеся предметом исследований теории автоматического управления, и объекты, которые являются предметом теории массового обслуживания. Для первой категории можно использовать математический аппарат макроуровня, для второй категории объектов используются методы моделирования событий.

Хотя математические модели надежности являются значительной идеализацией законов функционирования технических объектов (систем), они позволяют в вероятностной форме предсказать поведение объектов в реальных условиях функционирования и оценить многие количественные характеристики надежности. При этом степень идеализации в основном определяется требованием простоты используемых моделей. Сложные модели надежности могут потребовать очень большого объема выборки для оценки ее параметров при экспериментальных исследованиях, в результате чего использовать такие модели становится технически и экономически невыгодно (бессмысленно). Математические модели надежности элементов, используемые на практике, представляют собой, как правило, простые законы распределения, которые выражаются элементарными функциями или их интегралами, – законы надежности.

Показателями надежности при этом являются некоторые функции параметров математической модели. Модели надежности технических систем – тоже сложные функциональные зависимости, учитывающие модели отказов элементов и структуру системы.