Электростатическое поле распределения зарядов с симметрией плоскости
Симметрия плоскости соответствует распределению зарядов внутри неограниченной плиты толщины 2L с
(8.1)
Середина плиты совмещена с плоскостью xy. Распределение зарядов не зависит от xу, т.е. имеет симметрию плоскости. Пусть - напряженность при z > 0, а - напряженность при z < 0. Тогда симметрия приводит к тому, что
(8.2)
(8.3)
Для того, чтобы иметь дело с конечными значениями зарядов - в теореме Гаусса, рассмотрим область трехмерного пространства, ограниченную плоскостями
а) Найдем внутри плиты.
Через точки и , отстоящие друг от друга на расстоянии проведем плоскости, параллельные ху и применим теорему Гаусса для полученного объема в форме параллелепипеда (рис.9).
Рис.9
Параллелепипед имеет шесть граней. Ненулевой вклад в уравнение, выражающее теорему Гаусса дадут только элементы
(8.4)
а четыре элемента от боковых граней вида
(8.5)
перпендикулярны вектору напряженности и поэтому поверхностные интегралы по боковым граням обращаются в нуль.
Таким образом, теорема Гаусса выражается соотношением:
(*)
Вычислим количество заряда, которое имеет рассматриваемый параллелепипед:
(**)
Подставим (**) в (*) и получим
(8.6)
(8.7)
б) Аналогичными рассуждениями находим напряженность поля вне плиты:
(8.8)
(8.9)
в) Согласно полученным результатам и (8.2) составим дифференциальные уравнения для определения потенциалов внутри и вне плиты.
Учтем, что при z > 0 и при z < 0. Тогда формулы (8.7) можно объединить:
(8.10)
Следовательно, внутри плиты:
(*)
Положим, что потенциал обращается в нуль в середине плиты. Тогда постоянная интегрирования A, становится равной нулю. Для внешнего потенциала имеем
(**)
Условия «сшивания» внешнего и внутреннего решений при , приводят к тому, что
(***)
В нижнем полупространстве имеют место соотношения;
(8.11)
Условия «сшивания» внешнего и внутреннего решений имеют вид:
(****)
Объединим полученные формулы следующим образом:
(8.12)
(8.13)
Эти формулы описывают значения потенциалов внутри и вне плиты при любых значениях z.
Дата добавления: 2016-06-22; просмотров: 1738;