Натуральный репер, присоединенный к криволинейной системе координат.
Сферическая система координат определяется формулами:
;
(2.1)
На примере сферических координат введем понятие координатных линий, которое вводится тем же способом для всех других систем координат.
Рассмотрим произвольную точку , положение которой определяется значениями
. Координатная линия
получается движением точки
при постоянных
. Линии
и
получаются изменениями
и
при фиксированных значениях остальных координат.
Рис.3
Формулы перехода к общим криволинейным координатам имеют аналогичный вид:
(2.2)
Подставляя эти формулы в (1.1), видим, что в общем случае радиус-вектор точки является сложной функцией от криволинейных координат:
,
,
) =
. (2.3)
От точки сместимся вдоль координатной линии
, придавая только этой координате приращение
. Получаемый при этом вектор
направлен вдоль координатной линии
.
Рис.4
Следовательно, существует такой конечный вектор , касательный к координатной линии
в точке
, что имеет место уравнение:
. (2.5)
Аналогичные соотношения получаются и вдоль координатных линий:
;
(2.6)
Следовательно, векторный элемент длины в криволинейной системе координат определяется формулой:
. (2.7)
Из (2.5) и (2.6) следует, что
. (2.8)
Таким образом, имеется тройка векторов с общим началом и касательных в каждой точке пространства координатным линиям
. Векторные поля
образуют поле натурального репера, присоединенного к криволинейной системе координат
.
Если применить правило дифференцирования сложной функции от многих переменных к (2.8), учитывая (2.3), то получаются формулы перехода от декартова репера к натуральному реперу:
;
;
(2.9)
.
Эти формулы для сферических координат имеют вид:
;
; (2.10)
.
А для цилиндрической системы
,
,
. (2.11)
имеем:
;
(2.12)
.
Дата добавления: 2016-06-22; просмотров: 1541;