Конструирование основных типов векторных интегралов.
Криволинейные интегралы скалярного и векторного характера строятся при использовании векторного элемента длины (1.2), который в криволинейной ортогональной системе согласно (2.7) имеют вид:
. (4.1)
В сферических и цилиндрических координатах имеем
; (4.2)
. (4.3)
Криволинейный интеграл скалярного типа получается, если в качестве подынтегрального выражения взять скалярное умножение вектор-функции на векторный элемент длины:
. (4.4)
А если вместо скалярного умножения составить векторное произведение, то получится интеграл векторного типа:
. (4.5)
Поверхностные интегралы двух типов конструируются аналогичным образом. Скалярный интеграл получится по аналогии с (4.4), где роль играет векторный элемент поверхности , который в декартовой системе координат имеет вид:
; (4.6)
. (4.7)
Если здесь скалярное произведение заменить векторным, то получится векторный интеграл. Для вычисления таких интегралов нам понадобятся формулы для векторных элементов длины и поверхности и элемента объема в криволинейных ортогональных системах координат. Перепишем (4.1), вводя туда элементарные длины (3.12):
. (4.8)
Сравним это выражение с (1.2) и видим, что (4.8) получается из (1.2) заменой
;
(4.9)
.
Эту же замену произведем в (4.6) и получим общую формулу для векторного элемента поверхности:
. (4.10)
В сферических и цилиндрических координатах эта формула принимает вид:
; (4.11)
. (4.12)
Произведя такую же замену в элементе объема, записанном в декартовой системе координат
, (4.13)
получим элемент объема в криволинейной ортогональной системе координат:
. (4.14)
В сферической и цилиндрической системах:
; (4.15)
. (4.16)
Дата добавления: 2016-06-22; просмотров: 1283;