Метрическое пространство. Расстояние в евклидовом(унитарном) пространстве.

О п р е д е л е н и е. Множество М называется метрическим пространством, если задано отображение

которое каждой упорядоченной паре элементов ставит в соответствие число такое, что:

1) , ,

2) , ,

3) , ,

Число называется расстоянием между x и y; отображение - метрикой, аксиомы 1)-3) – аксиомами метрики(расстояния).

О п р е д е л е н и е. Расстоянием между множествами X и Y в метрическом пространстве называется число

. (6.1)

Т е о р е м а. В евклидовом(унитарном) пространстве Vправило

(6.2)

задает метрику.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, правило (6.2) определяет отображение , которое отвечает всем аксиомам метрики. Проверка аксиом тривиальна, отметим только одну из них:

, . #

Итак, Е(U) пространство является метрическим пространством относительно метрики (6.2).

Т е о р е м а. (о кратчайшем расстоянии). Расстояние между вектором и линейным подпространством P в евклидовом(унитарном) пространстве равно длине перпендикуляра, опущенного из вектора на P.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , где , и - произвольный вектор из P. Тогда . Отсюда следует, что и . Это означает, что . #

Эта теорема может быть переформулирована также и в других терминах:

1) расстояние между вектором и подпространством Р равно расстоянию между вектором и его ортогональной проекцией на Р;

2) среди всех векторов подпространства Р ближе всего к вектору расположена его ортогональная проекция на Р.