Свойства ортонормированного базиса.

Т е о р е м а. В ЕП(УП) координаты вектора в ОНБ вычисляются по правилу

. (3.6)

Доказательство. Умножим вектор скалярно на :

.

Таким образом, координаты произвольного элемента относительно ОНБ равны скалярным произведениям этого элемента на соответствующие базисные элементы (проекция элемента на элемент . #

Т е о р е м а. В ЕП(УП) скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами в ОНБ e вычисляется по правилу

. # (3.7)

Замечание. В ЕП черта может быть опущена:

Таким образом, в ОНБ СП любых двух элементов равно сумме произведений соответствующих координат этих элементов.

О п р е д е л е н и е. Матрица называется ортогональной, если .

О п р е д е л е н и е. Матрица называется унитарной, если .

Т е о р е м а. Во всяком n-мерном ЕП(УП) существует ОНБ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , - произвольный базис Е (U). Докажем, что можно построить n элементов , линейно выражающихся через и образующих ОНБ. Используем индукцию по n. При n=1 утверждение очевидно: достаточно взять любой вектор и положить

.

Убедимся в том, что если для n-1 построена последовательность ортонормированных элементов , то следующий элемент можно вычислить по формуле

Пусть в (n-1)-мерном ЕП(УП)существуетОНБ; покажем, что ОНБ существует и в n-мерном E(U). Линейная оболочка является (n-1)-мерным пространством и в нем по индуктивному предположению существует ОНБ . Так как , то вектор отличен от нулевого вектора при любых . Будем выбирать коэффициенты из условия ортогональности вектора всем векторам : , или .

Тогда, положив , получим ОНБ пространства E(U). #

Алгоритм построения по данной системе n линейно независимых элементов системы n попарно ортонормированных элементов называется процессом ортогонализации Грамма-Шмидта. Он состоит в следующем:

Первый шаг. Полагая находим .

k-й шаг ( ). Полагаем

, (3.8)

где , и находим .

Через n шагов получим ОНБ пространства.

Более подробно:

,

, ,

, ,

……………………………………………………………….

, .

Матрица Грама

Матрицей Грама системы векторов ЕП(УП) называется матрица

. (4.1)

Определитель матрицы Грама называется определителем Грама.

Т е о р е м а. Система векторов ЕП(УП) линейно зависима тогда и только тогда, когда .

Д о к а з а т е л ь с т в о.Необходимость. Пусть . -линейно зависимая система векторов. Последовательно умножая нетривиальную линейную комбинацию

(4.2)

скалярно на векторы , получим однородную систему уравнений относительно неизвестных :

(4.3)

с матрицей коэффициентов . Из существования нетривиального решения полученной системы уравнений следует, что .

Достаточность. Пусть . Тогда система имеет нетривиальное решение . Перепишем систему в виде

(4.4)

Это значит, что вектор , с одной стороны, принадлежит , а с другой стороны, ортогонален . Согласно аксиоме 4) скалярного произведения вектор может быть только нулевым. Значит, для векторов имеет место соотношение, откуда с учетом нетривиальности набора следует линейная зависимость векторов . #

О п р е д е л е н и е. Матрица называется эрмитовой матрицей, если

. (4.5)

Матрица называется симметрической матрицей, если

. (4.6)

Т е о р е м а. Матрица Грамма системы векторов ЕП(УП) эрмитова.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Из (4.1) следует, что , т.е. . Это означает, что или, в вещественном случае . #

Т е о р е м а.Определитель Грамма линейно независимой системы векторов в ЕП(УП) положителен.

Д о к а з а т е л ь с т в о.. Пусть линейно независимая система векторов ЕП(УП). Тогда . Выберем ОНБ линейной оболочки . Составим матрицу

столбцами которой являются координаты векторов в базисе . Тогда

. Следовательно,

(4.7)

и . Таким образом,

. (4.8)

Так как система линейно независима, то . Отсюда с учетом (4.7) следует, что . #

Замечание. В вещественном случае Матрица Грама запишется в виде

.