Примеры расчета на кручение

Пример 12.1 На стальний вал, который вращается в подшипниковых опорах А и Д со скоростью 180 оборотов за минуту, насажено в точках Б, В, Г три шкива 1,2 и 3 (рис.12.7,а). Шкив 2 получает от двигателя мощность 75 кВт и передает ее на шкивы 1 и 3 в пропорции 1:2. Требуется: 1) построить епюру крутящих моментов;

2) определить необходимый диаметр сплошного поперечного сечения вала из условий прочности и жесткости, приняв =40 МПа, =0,0053 рад/п.м, G=0,8·105 МПа;

3) определить внутренний и внешний диаметры пустотелого сечения вала при отношении этих диаметров из тех же условий, что и сплошного;

4) построить епюру углов закручивания вала сплошного поперечного сечения.

Решение задачи. 1) Определяем внешние моменты, которые действуют на шкивы 1,2 и 3 соответственно. Учитывая, что m₁ + m₃ = m₂= 75 кВт, а m₃= 2 m₂, получим: 3m₁ = 75 кВт, откуда m₁= 25 кВт, а m₃ = 50 кВт.

Используя формулу (12.4) определяем внешние моменты в кНм: m₁= 9,551·25/180= 1,33 кНм; m₂= 9,551·75/180 = 3,99 кНм;

m₃= 9,551·50/180 = 2,66 кНм.

Делим вал на четыре участка АБ, БВ, ВГ и ГД и определяем крутящие моменты на каждом из них, рассматривая равновесие левых частей вала относительно произвольных сечений каждого участка. На рис.12.7,б приведенная схема нагрузки вала внешними моментами и показаны произвольные сечения 1-1, 2-2, 3-3 и 4-4 на каждом участке.

Рис.12.7

Слева от сечения 1-1 отсутствует внешняя нагрузка, поэтому крутящий момент на участке АБ равняется нулю ( ).

Слева от сечения 2-2 действует внешний момент m₁ равный 1,33 кНм инаправленный по часовой стрелке. Крутящий момент на участке БВ равняется этому моменту m₁ с положительным знаком ( кНм).

Слева от сечения 3-3 действует внешний момент m₃ равный 2,66 кНм и направленный против часовой стрелки, поэтому крутящий момент на участке ВГ равняется этому моменту с отрицательным знаком ( кНм).

Наконец, справа от сечения 4-4 отсутствует внешняя нагрузка, поэтому крутящий момент на участке ГД равняется нулю ( ). На рис.12.7,в построенная эпюра крутящих моментов.

2) Определяем необходимый диаметр сплошного поперечного сечения вала из условия прочности. Для этого используем формулу (12.18):

, принимаем =70 мм

Определяем необходимые внешний и внутренний диаметры полого сечения вала из условия прочности. Используя формулу (12.19), находим:

, или =7,6 см, тогда =0,7·7,6=5,3 см

Площадь сплошного поперечного сечения равняется:

см²

Площадь полого сечения вала равняется:

см²

Таким образом, площадь сплошного сечения больше площади полого сечения вала в 1,65 раза.

3) Определяем диаметр сплошного сечения вала из условия жесткости (12.21).

, откуда

,

учитывая, что , найдем см. Аналогично определяем внешний и внутренний диаметры полого сечения: , откуда

см и см.

Из двух значений диаметров поперечного сечения вала, как сплошного, так и полого, нужно принять большие значения, то есть значения, которые определены из условия жесткости.

4) Определяем углы закручивания на каждом участке вала. Примем условно неподвижным сечение вала, в котором насажен шкив 2, тогда, шкив 1 повернется относительно шкива 2 на угол:

радиан.

Углы закручивания сечений вала на первом участке АБ имеют постоянную величину, которая равняется углу закручивания шкива 1 относительно шкива 2.

Аналогично шкив 3 повернется относительно шкива 2 в том же направлении на угол:

радиан.

При этом углы закручивания сечений вала на участке ГД будут равняться углу закручивания шкива 3 относительно шкива 2.

Эпюра углов закручивания построенная на рис.12.7,г.

Пример 6.2 Цилиндрическая стальна пружина диаметром см закреплена вверху и нагруженная внизу силой растяжения F=40 кН. Определить диаметр провода пружины, если допустимое напряжение равняется МПа, а также удлинения пружины при количестве витков n=8.

Рис.12.8

Решение задачи. 1) Определяем диаметр проволоки пружины из условия прочности (12.26), без учета отношения диаметра проволоки к удвоенному диаметру пружины, т.е используем условие прочности:

подставим исходные данные задачи

, откуда

м, или см. Принимаем см. (Делаем округление к величине стандартного диаметра проволоки).

Проверим выполнение условия прочности (12.26):

, откуда получаем , то есть условие прочности выполняется.

2) Определяем удлинение пружины, используя формулу (12.27):

,тогда , или см.