Приведение пространственной системы произвольно

Расположенных сил к заданному центру.

Условия равновесия

Согласно теореме Пуансо, всякая сила может быть перенесена параллельно её линии действия в любую точку тела. При этом, дейст­вие заданной силы заменяется действием такой же силы, приложенной в центре приведения и действием присоединенной пары сил, момент которой равен моменту заданной силы относительно центра приведения.

Рис.6.6

Пусть твердое тело загружено силами , , ,…, , не лежащими в одной плоскости (рис.6.6). Возьмем точку О тела в качестве центра приведения и приложим в ней по две взаимно уравновешенные силы и , и ,... и соответственно равные и параллельные заданным силам. В результате получаем пространственную систему сходящихся сил , ,…, - и пространственную систему пар ( , ) , ( , ),...,( , ).

Равнодействующая сходящихся сил , ,…, равна их геометрической сумме и называется главным вектором заданных сил.

= + + …+

Напомним, что главный вектор и равнодействующая произвольной системы сил имеют одинаковые модули и направления, параллельны между собой, но их линии действия не совпадают.

Модуль главного вектора определяется по формуле (4.7), а его проекции на координатные оси по формулам (4.8).

Приведенные пары ( , ), ( , ),...,( , ) расположены в раз­ных плоскостях и их действие на тело можно заменить действием од­ной результирующей пары, расположенной в новой плоскости. Момент этой пары называется главным моментом заданной системы сил относительно выбранного центра.

Если воспользоваться понятием момента силы как вектора, имеющего в пространстве три взаимно перпендикулярные составляющие, то модуль главного момента определится выражением:

(6.9)

где , , - проекции вектора главного момента на координатные оси x, y и z соответственно.

Опуская доказательство, укажем, что проекция вектора главного момента на любую ось равна алгебраической сумме моментов всех за­данных сил относительно той же оси, т.е:

, , (6.10)

Таким образом, произвольная система сил в пространстве приво­дится к главному вектору, равному геометрической сумме заданных сил и приложенному в центре приведения и к главному моменту этих сил относительно центра приведения.

Для равновесия системы сил, произвольно расположенных в прост­ранстве необходимо, чтобы главный вектор и главный момент этой сис­темы были одновременно равными нулю, т.е:

= 0 и (6.11)

Используя формулы (6.5) и (6.9) с учетом зависимостей (6.6) и (6.10), устанавливаем, что равенства (6.11) возможны при выполнении следующих шести условий:

, ,

, , (6.12)

Следовательно, система произвольно расположенных сил в прост­ранстве находится в равновесии в том случае, когда одновременно равны нулю алгебраические суммы проекций всех сил на три взаимно перпендикулярные оси и алгебраические суммы моментов всех сил относительно тех же осей.

Из условий (6.12) вытекают уравнения равновесия, решение которых дает возможность вычислить шесть неизвестных параметров системы сил, под действием которой тело находится в равновесии. Обычно в задачах статики неизвестными являются величины и направления реак­ций опорных связей. Если же система сил имеет более шести неиз­вестных параметров, то задача является статически неопределимой. Решение таких задач рассматривается в статике сооружений.