Общие замечания о приближенных методах в квантовой теории поля

Математические трудности, возникающие при попытке отыскать решения какой-либо проблемы квантовой теории поля, являются гораздо более серьезными, чем в квантовой механике. В основном они обусловлены степенью сложности, которая следует непосредственно из того экспериментального факта, что (если применить хорошо известное парадоксальное выражение) «каждая элементарная частица состоит из всех других элементарных частиц». В квантовой механике атом водорода состоит из протона и электрона; поэтому для его описания достаточно волновой функции, зависящей от их координат.

В физике элементарных частиц протон потенциально состоит из нуклона и бозона, или нуклона и двух бозонов и т. д., или из нуклона и нуклон-антинуклонной пары, или нуклона и двух пар и т. д. Следовательно, для описания свойств отдельного протона в принципе нужно записывать бесконечный ряд волновых функций, зависящих от одной, двух или вообще любого числа переменных.

Аналогично математические соотношения, из которых должны определяться массы или поперечные сечения, можно задать лишь в виде бесконечной системы уравнений, содержащих функции любого числа переменных. Следовательно, нельзя надеяться найти точные решения, используя простые аналитические функции. Нужно искать приближенные решения; поэтому основной вопрос звучит так: чем можно пренебречь, чтобы добиться заданной степени точности?

Из интуитивных соображений следует ожидать, что вероятность обнаружить, например, протон, состоящим из очень большого числа частиц, чрезвычайно мала. Поэтому теми частями полной волновой функции, которые означают, что рассматриваемая частица состоит из очень большого числа других, можно пренебречь. В этом случае вычисления должны ограничиваться функциями не более n переменных; с ростом n степень точности будет повышаться. Из бесконечной системы нужно отобрать конечное число уравнений, относящихся к функциям не более п переменных.

Чтобы получить достаточно полную систему для неизвестных функций, следует включать в нее и такие уравнения, которые в своей точной форме содержат функции с числом переменных, превышающими. Затем их нужно аппроксимировать, связывая с функциями не более n переменных. Эта связь как раз и определяет вид используемого приближения. При такой общей процедуре одно из граничных условий, будет удовлетворяться автоматически. В принципе волновая функция, описывающая каждое состояние, содержит части, зависящие от сколь угодно большого числа переменных. Определение их вкладов в норму представляет серьезную математическую проблему.

В приближенной волновой функции, когда число переменных выше n, этими частями просто пренебрегают; то же относится и к их вкладам в норму. Поэтому части с очень многими переменными для конечности нормы опасности не представляют, и граничное условие, относящееся к области чрезвычайно большого числа переменных, удовлетворяется автоматически.

Вопрос о том, приводит ли эта процедура к сходящемуся математическому процессу, в большинстве случаев остается открытым. Как правило, сходимость определенного приближенного метода можно проверить лишь на простых моделях, которые обладают некоторыми важными свойствами, общими с квантовой теорией поля. Но доказательство сходимости для упрощенных моделей не обязательно означает, что и вся полевая теория тоже сходится. Кроме того, сходимость приближенных собственных значений к истинным, возможно, не означает, что то же справедливо и для волновых функций.

Очевидно, что старые методы теории возмущений, которые столь успешно применялись в квантовой механике, бесполезны для теории, определяемой уравнением (3.1); нельзя считать, что один из его членов гораздо меньше других. Такая теория нуждается в приближениях типа метода Ритца в квантовой механике, когда сначала нужно угадать общий вид волновой функции, а затем, изменяя параметры или вводя другие усовершенствования, можно попытаться подойти к истинной волновой функции все ближе и ближе.

Часто исходными уравнениями оказываются релятивистские интегральные уравнения типа Бете — Салпетера [88—91]; в этом случае могут быть полезны методы, развитые математиками для общих интегральных уравнений типа Фредгольма. Иногда предварительные соображения о виде пробной волновой функции могут подсказать результаты теории возмущений.

Степень сложности, которая в квантовой теории поля является основным источником трудностей, привела к введению своеобразной стенографической записи интегральных выражений и уравнений; она обладает большим преимуществом, так как дает математической процедуре физическую интерпретацию. Посредством фейнмановских диаграмм сложные интегралы можно изображать в виде простых рисунков, дающих некоторую возможность проникнуть в механизм описываемого взаимодействия. В дальнейшем мы часто будем использовать технику фейнмановских диаграмм (в несколько обобщенной форме) для записи уравнений на собственные значения или соотношений для определения констант связи.