Вычисление коэффициентов модели
Приведем метод вычисления коэффициентов линейной модели с нормированными факторами
(6.23)
по результатам ПФЭ типа .
Используем матричный метод регрессионного анализа, который очень удобен для решения задач на ЭВМ. Для этого введем следующие матрицы:
матрицу независимых переменных
, (6.24)
матрицу — столбец откликов (вектор наблюдений) и матрицу — столбец коэффициентов
, (6.25)
и матрицу, транспонированную к
. (6.26)
В матричной форме система нормированных уравнений для определения коэффициентов методом наименьших квадратов запишется следующим образом:
. (6.27)
Отсюда
. (6.28)
Матрица моментов (информационная матрица Фишера) имеет вид
, (6.29)
где суммирование всюду осуществляется по от 1 до .
Учитывая свойства ортогональности (6.20) матрица коэффициентов нормальных уравнений становится диагональной и ее диагональные элементы равны
. (6.30)
Матрица, обратная матрица моментов , получается равной
. (6.31)
Далее имеем:
; (6.32)
, (6.33)
где суммирование осуществляется по от 1 до .
Следовательно, любой коэффициент определяется по формуле
. (6.34)
Если в рассмотрение ввести нелинейную модель с коэффициентами взаимодействия
, (6.35)
то эффекты взаимодействия определяются аналогично линейным эффектам:
; (6.36)
. (6.37)
и т.д.
В связи с тем, что матрица для спланированного эксперимента — матрица диагональная коэффициенты уравнения регрессии некоррелированы между собой. При этом выборочные коэффициенты оказываются несмешанными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов , то есть величины коэффициентов уравнения регрессии характеризуют вклад каждого фактора в величину .
Если выход объекта зависит еще и от квадрата факторов
, (6.38)
то эксперимент типа не позволяет определить квадратичные эффекты . Действительно, значения не отличаются друг от друга и от вектор столбца . Поэтому величина представляет собой смешанную оценку значения свободного члена и вкладов квадратичных членов, то есть
,
где — вычисленный выше коэффициент;
— неизвестные истинные значения .
Для получения модели типа (6.38), включающей степени факторов, необходимо проводить эксперимент при .
Дата добавления: 2016-06-22; просмотров: 2710;