Методы переходных функций

Дифференциальное уравнение и передаточная функция является наиболее общей формой уравнения связи между переменными состояния на входе и выходе линейной системы. Экспериментатор наблюдает только входные и выходные переменные, по которым должен получить уравнение связи.

С помощью эксперимента можно получить только график или таблицу чисел, определяющих значения сигналов на входе и выходе, т.е. получить реализацию некоторого частного дифференциального уравнения при определенном входном сигнале. В дальнейшем, аппроксимировав аналитическим выражением полученные реализации, можно построить дифференциальное уравнение заданной структуры и записать его в одной из форм, приведенных выше.

При эксперименте можно использовать различные виды входных сигналов. Применяя некоторые их виды, можно не только существенно облегчить задачу аппроксимации, но и, что особенно важно, повысить качество (точность) исследования с точки зрения некоторого заданного критерия идентификации. Выбор характера входного сигнала с точки зрения оптимизации качества идентификации. Выбор характера входного сигнала с точки зрения оптимизации качества идентификации исследуется в методических руководствах по оптимизации методов планирования экспериментов [15].

Первые методы идентификации в задачах управления были основаны на использовании ступенчатых, импульсных и гармонических входных сигналов.

Основные виды входных сигналов, используемых для идентификации, приведены в левой колонке рис.2.1.

Наибольшее распространение получили переходные характеристики при ступенчатом воздействии на входе (рис.2.1,а). Реакцию объекта на ступенчатое воздействие часто называют кривой разгона.

Если известна амплитуда ступени на входе d и экспериментально получены ординаты кривой разгона y(n) можно записать, используя (2.6а), выражение дискретного изображения по Лапласу входного и выходного воздействий.

Для дискретного времени, воспользовавшись дискретным преобразованием Лапласа, можно получить выражения (5.6а) и (5.7а). Так, прямое преобразование Лапласа решетчатой функции x(n) определяется соотношением

(5.6а)

Как и для непрерывного времени

Соответственно обратное преобразование, определяющее решетчатую функцию по ее изображению, записывается в виде

(5.7а)

Дискретная передаточная функция и соответствующее дискретное уравнение при этом принципиально могут быть найдены.

Для непрерывного времени полученная кривая разгона должна бытьаппроксимирована аналитическим выражением.

Обычно для линейных систем такая аппроксимация выполняется с помощью выражения

(5.8)

где b может быть комплексным числом.

Число экспонент в выражении y(t) определяет порядок дифференциального уравнения и передаточной функции объекта идентификации.

Обзор методов аппроксимации экспериментальных кривых аналитическими выражениями приведен в [16], по аналитическим выражениям входа и выхода с помощью уравнений (5.4) – (5.7) или таблиц в [13,14] могут быть найдены изображения этих выражений по Лапласу, передаточные функции и дифференциальные уравнения объекта.

Рассмотрим основные недостатки методов идентификации с помощью переходных функций. Известно, что непериодическая функция x(t), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена в виде интеграла Фурье.

Любой непериодический сигнал x(t) может быть представлен в виде бесконечного множества гармонических составляющих, образующих непрерывный спектр.

(5.9)

(5.1) – прямое преобразование Фурье.

(5.10)

(5.2) – обратное преобразование Фурье

Рис.2.1

Известно, что мощность несинусоидального сигнала, например тока, равна сумме мощностей отдельных гармоник.

Формула Релея дает возможность, зная частотный спектр сигнала, найти его энергию. Из формулы Релея следует, что энергия, передаваемая сигналом, распределяется по частотам пропорционально квадрату амплитуды частотного спектра. При этом амплитуда плотности спектра g(ω) интеграла Фурье пропорциональна энергии сигнала x(t) на данной частоте ω. Выражение для амплитуды плотности спектра записывается в виде

(5.11)

Для непрерывной функции

где

(5.12)

где p=σ+jω, σ – абсцисса абсолютной сходимости, т.е. действительная постоянная, при которой

Обратное преобразование Лапласа для непрерывного сигнала

(5.13)

Рис 2.2.а

Здесь g – амплитуда плотности спектра интеграла Фурье,

Рис 2.2.б

Рис 2.2.в

Если а=1с, то g( ) практически затухает на f^*=2Гц, т.к.

Рис 2.2.г

Рис 2.2.д

Рис.2.2 отображает виды переходных характеристик и их амплитудные спектры.

На ри.2.2 в правой колонке приведены зависимости g(ω) для различных видов входных воздействий. Из рисунка видно, что приведенные виды входных воздействий несут очень мало энергии на высоких частотах. Кроме того, промышленные объекты обычно являются фильтрами нижних частот, т.е. значительно уменьшают амплитуды на высоких частотах. Поэтому точность определения характеристик объекта в области высоких частот с помощью переходных функций весьма низка.

На качестве идентификации с помощью переходных функций весьма неблагоприятно сказываются также случайные помехи, искажающие реакцию объекта, и неточность аппроксимации объекта линейной моделью.

Частично указанные недостатки устраняются при идентификации объекта частотными методами.

Частотные методы

Динамические свойства объекта могут быть описаны с помощью частотных характеристик. Частотная характеристика объекта представляет зависимость от частоты в установившемся режиме двух переменных:

1) Отношения амплитуд гармонических сигналов на входе и выходе объекта – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) А(ω);

2) сдвига фаз между входными и выходными гармоническими сигналами – фазочастотная характеристика (ФЧХ) φ(ω).

На графиках принято изображать указанные характеристики в следующих формах.

1. В виде совокупности АЧХ и ФЧХ в декартовых координатах в зависимости от частоты. Эта форма графика называется диаграммой Боде.

2. В полярных координатах, где А(ω) является радиусом-вектором, φ(ω) – полярным углом. Частота ω является параметром. Такая кривая с отметками частот носит название амплитудно-фазовой характеристики (АФХ)илидиаграммы Найквиста.

Принято также использовать известную форму записи функций, заданных в полярных координатах, в виде комплексных чисел. Действительная часть W(jω) записывается в виде

- мнимая частотная характеристика, - вещественная частотная характеристика.

Мнимая – в виде

Амплитудно-фазовая характеристика в символической записи имеет вид:

3. Если в диаграммах Боде А(ω) заменены на lgА(ω), то характеристики носят название логарифмических частотных характеристик.При этом обычно по оси абсцисс откладывается относительная частота в логарифмическом масштабе в октавах и декадах, а по оси ординат вместо lgА откладывается 20 lgА в децибелах.

Выражения W(jω), А(ω), φ(ω), , могут быть легко найдены, если известно дифференциальное уравнение. Для этого достаточно в выражении подставить jω вместо р. Полученное комплексное число и представляет собой аналитическое выражение АФХ в комплексной форме W(jω). Остальные формы характеристик могут быть легко получены по известным правилам преобразования комплексных чисел. Заданные аналитически или графически частотные характеристики объекта позволяют рассчитать контур стабилизации со стандартным регулятором.

Рис.2.3. Схема определения частотных характеристик в замкнутой системе

Эксперимент, с помощью которого исследуются частотные характеристики, значительно более трудоемок по аппаратуре и времени проведения по сравнению с переходными характеристиками. Для исследования необходима аппаратура, с помощью которой можно подать на вход объекта гармонические сигналы. Выходной сигнал всегда зашумлен и обычно несколько искажен нелинейностями, имеющимися в объекте. Поэтому для определения амплитуды и фазы выходного гармонического сигнала необходимо выделение первой гармонической составляющей вручную или с помощью специальной аппаратуры. Исследование на различных, в том числе низких частотах, требует большого времени.

Поскольку при исследовании частотных характеристик рассматривается вынужденное, а не свободное движение системы, необходимо некоторое время для затухания свободного движения.

На исследование частотных неблагоприятное влияние оказывают тренды, вызывающие «уползание» средней линии выходного сигнала. Для уменьшения ошибок из-за «уползания» средней линии и уменьшения влияния помех определение частотных характеристик производят в замкнутой системе по схеме, приведенной на рис.2.3, где объект с передаточной функцией W(p) охвачен обратной связью с регулятором-стабилизатором, имеющим передаточную функцию W_р(p). Помехи, приведенные к выходу объекта ξ(t), могут содержать кроме случайных составляющих детерминированные тренды. Но в сигнале y(t) «уползание» будет устранено, а воздействие случайных составляющих ξ(t) значительно ослаблено. Гармонический сигнал теперь будет подаваться с генератора Г не непосредственно на регулирующий орган, а на задатчик регулятора, что, конечно, требует значительно меньшей мощности генератора. На анализатор А, выделяющий первые гармонические составляющие, подаются сигналы x и y.

Полученные экспериментально частотные характеристики, как упоминалось выше, могут быть использованы для расчета системы управления. Однако более универсальным для различных применений является аналитическое представление.

Разработаны методы аппроксимации частотных характеристик аналитическими выражениями.