Условия на границе раздела двух диэлектриков

Рассмотрим связь между векторами E и D на границе раздела двух диэлектриков, предположив, что они изотропные и однородные (диэлектрические проницаемости которых e₁ и e₂) при отсутствии на границе раздела свободных зарядов.

На границе раздела диэлектриков с относительными диэлектрическими прони-цаемостями e₁ и e₂ построим небольшой замкнутый прямоугольный контур длиной l = 2a + 2b, ориентировав его так, как показано на рис. 3.8.

Согласно теореме о циркуляции вектора напряженности электрического поля ,имеем

, (3.20)

где знаки интегралов по ²a² - разные, так как пути интегрирования противоположны, а интегралы по участкам ²b² - ничтожно малы.

Поэтому

. (3.21)

Заменив проекции вектора E проекциями вектора D, деленным на ee_o, получим

. (3.22)

Построим прямой цилиндр малой высоты на границе раздела двух диэлектриков. Одно основание цилиндра пусть находится в первом диэлектрике, другое - во втором (рис. 3.9). Основания DS настолько малы, что в пределах каждого из них вектор D одинаков. Согласно теореме Остроградского-Гаусса, так как нормали n₁ и n₂ к основаниям цилиндра направлены противоположно, будем иметь

. (3.23)

Это означает, что

. (3.24)

Заменив проекции вектора Dна проекции вектора E, умноженные на ee_o, получим

. (3.25)

Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектриков тангенциальная составляющая вектора E (E_t) и нормальная составляющая вектора D (D_n) не претерпевают скачка, а нормальная составляющая вектора E (E_n) и тангенциальная составляющая вектора D (D_t) претерпевают скачок.

Из условий (3.24, 3.25) для составляющих векторов E и Dвытекает, что линии этих векторов испытывают преломление на границе раздела двух диэлектриков.

Установим связь между углами a₁ и a₂ при условии e₂>e₁. Разложим векторы E₁ и E₂ у границы раздела на тангенциальные и нормальные составляющие. Согласно тому, что и ,

следует

. (3.26)

Учитывая записанные выше условия, получим закон преломления линий напряженности E (а значит, и линий индукции электрического поля D):

. (3.27)

Соотношение (3.27) показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью, линии векторов E и D удаляются от нормали и ведут себя по-разному, что ранее постулировалось.