Собственные функции и собственные значения. Свободная частица
Функции Y,удовлетворяющие уравнению Шредингера при данных U, называются собственными функциями.
Значения Е, при которых существуют решения уравнения (22), называются собственными значениями.
В качестве примера определим y и Е для свободной частицы.
Свободной называют частицу, на которую не действуют силы, т.е. . Следовательно, U(x)=const и ее можно принять равной нулю. Таким образом, в случае свободного движения частицы, ее полная энергия совпадает с кинетической, а скорость . Направим ось Х вдоль вектора . Тогда (22) можно записать в виде
. (23)
Прямой подстановкой можно убедится, что частным решением этого уравнения является функция y(х)=Аexp(ikx), где А=сonst, k=const c собственным значением энергии
Е= . (24)
C учетом (21) волновая функция
Y(х)=Аexp(-iwt+ ikx)= Аexp[-(i/ )(Еt- рxх)]. (25)
здесь w=Е/ , k=рx/ .
Функция (25) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля [cм. (16)].
Из (24) следует, что зависимость энергии от импульса
Е= 2k2/(2m)=Рх2/(2m)=mv2/2 (26)
оказывается обычной для нерелятивиских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.
Плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства
çy÷ 2=yy*=A2,
т.е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.
Дата добавления: 2016-06-22; просмотров: 1688;