Интерференционная картина при многолучевой интерференции

Рассмотрим плоскопараллельную пластину с показателем преломления , находящуюся в среде с показателем преломления . Пусть на нее под углом падает плоская волна монохроматического света. В результате многократных отражений образуются плоские волны , , … и , , …, отраженные и прошедшие (рис.8.29).

Рис. 8.29. Обобщённая схема получения многолучевой интерференции

Пусть, как и раньше (глава 3), амплитуда падающей волны , и будем считать ее поляризованной, либо параллельно, либо перпендикулярно плоскости падения. Как и раньше, будем считать амплитуду комплексной величиной, фаза которой равна постоянной части фазы соответствующей волновой функции, т.е.

Здесь – амплитуда электрического вектора.

Уравнение плоской гармонической волны частотой , идущей в направлении единичного вектора со скоростью имеет известный вид (см. главу 3):

,

гле - волновое число.

Из предыдущего раздела известно, что каждая из плоских волн (отраженных или прошедших) имеет постоянный фазовый сдвиг

относительно предыдущей.

Обозначим френелевские амплитудные коэффициенты пропускания из воздуха в среду , а из среды в воздух – , и соответствующие коэффициенты отражения – и . Тогда, считая начальные фазы первых отраженных и прошедших волн и нулевыми, для комплексных амплитуд отраженных и прошедших волн получаем:

Отраженные волны:

, , , … .

Прошедшие волны:

, , ,….

Важно обратить внимание на то, что для каждой из компонент, параллельной и перпендикулярной, справедливы соотношения:

; и , и кроме того .

Здесь и – энергетические коэффициенты пропускания и отражения.

При суперпозиции первых pотраженных волн возникает плоская волна, амплитуда электрического вектора которой равна:

Если , получаем:

Таким образом

. (8.80)

Интенсивность отраженного света .

(8.81)

Аналогично получим выражение для интенсивности прошедшего света, а именно:

При получаем:

(8.82)

И, следовательно, интенсивность прошедшего света

(8.83)

Предположим теперь, что параллельные пучки отраженного и прошедшего излучения собираются в фокальных плоскостях линз Л₁ и Л₂(рис. 8.30).

Рис. 8.30. Многолучевая интерференция в проходящем и отражённом свете

Видно, что в точках P будут наблюдаться максимумы интенсивности прошедшего света, когда δ=2πm, m=1, 2, 3.., и минимумы при m=1/2, 3/2, 5/2..

Поскольку , то в фокальной плоскости линзы Л₁ будут наблюдаться полосы равного наклона, соответствующие местам с постоянным (и, следовательно, ). Аналогично в фокальной плоскости линзы Л₂также будут наблюдаться полосы равного наклона, причем максимумы будут при условии δ=2πm (m=1/2, 3/2, 5/2..), а минимумы при m=1, 2, 3..

Таким образом, положение максимумов и минимумов при многолучевой интерференции оказалось таким же, как и при двулучевой. В чем же особенность? Разберемся в этом подробнее.

Введем параметр:

(8.84)

Тогда очевидно:

, (8.25)

Обе картины энергетически дополнительны, в том смысле, что:

. (8.86)

Когда ρмало по сравнению с единицей, F также мало и мы можем разложить в ряд выражение .Тогда, ограничиваясь членами с F в первой степени, получаем:

; , (8.26)

т.е. соотношения для интенсивности имеют вид, характерный для двулучевой интерференции.

Если ρ увеличивается (F велико), максимумы становятся значительно резче; интерференционная картина в прошедшем свете имеет вид узких светлых полос на темном фоне (в отраженном – наоборот). Резкость полос обычно оценивают полушириной интенсивности, точнее говоря, относительной полушириной. Резкостью будем называть отношение расстояния между полосами к ширине. Удобно выразить эти величины в долях δ. Тогда

, (8.27)

где ε – полуширина максимума интенсивности, причем (см. рис. 8.31)

.

Рис. 8.31. График зависимости от при различных значениях параметра

Для нахождения ε положим в (8.26) , и тогда

.

Отсюда следует, что

(8.28)

При больших Fзначение ε становится настолько малым, что можно считать , и тогда из (8.28)

.

Следовательно, резкость равна (из (8.27) )

.

До сих пор мы предполагали, что свет строго монохроматичен. В случае квазимонохроматического света распределение интенсивности равно сумме распределений интенсивностей типа (8.25), обусловленных каждой монохроматической компонентой λ₀. Если эти компоненты занимают область длин волн Δλ₀ вблизи средней длины волны , то максимумы порядка m распределены в области, соответствующей Δδ в картине, получающейся на длине волны . Поскольку для m-го максимума λ₀

,

то, пренебрегая зависимостью от длины волны, получаем

.

Если потребовать выполнения условия , то, с учетом (8.27), получим

,

и, поскольку оптическая разность хода между соседними интерферирующими пучками для m-го максимума длины волны λ₀

,

получаем:

.

Это неравенство аналогично выражению (8.9), полученному для двухлучевой интерференции, где в правой части величина тождественна длине когерентности света.

Таким образом, мы показали, что, в отличие от двулучевой интерференции, при многолучевой интерференции происходит более четкое разделение полос. Увеличение коэффициента отражения ρ можно обеспечить либо увеличением угла падения , либо нанесением на поверхность диэлектрических или металлических отражающих покрытий. В последнем случае, ввиду наличия поглощения в металлических пленках, определяемого коэффициентом поглощения α, следует учесть, что

.

Тогда соотношение между интенсивностями и примет вид

.