Метод средней точки

Если имеется возможность вычислять как значения самой функции, так и ее производной, то для нахождения корня уравнения можно воспользоваться эффективным алгоритмов исключения интервалов, на каждой итерации которого рассматривается лишь одна пробная точка. Если в точке выполняется неравенство , то с учетом унимодальности естественно утверждать, что точка минимума не может лежать левее точки . Соответственно интервал может быть исключен. И наоборот, если в точке выполняется неравенство , то естественно утверждать, что точка минимума не может лежать правее точки .

Определим две точки и таким образом, что и .Тогда стационарная точка расположена между и . Вычислим производную в средней точке рассматриваемого интервала . Если , то интервал можно исключить из интервала поиска. Если , то интервал можно исключить из интервала поиска.

Логическая структура поиска в соответствии с изложенным методом исключения интервалов основана лишь на исследовании знака производной, независимо от значений, которые эта производная принимает.

Метод секущих

Метод секущих, являющийся комбинацией метода Ньютона и общей схемы исключения интервалов, ориентирован на нахождение корней уравнения в интервале , если такой корень существует.

Предположим, что в точках и знаки производной различны (рис.2.9). Аппроксимируем функцию секущей прямой, соединяющей точки и и найдем точку, в которой секущая графика пересекает ось абсцисс. Определим уравнение секущей по обычной методике.

Рис. 2.9. Иллюстрация метода секущих

Пусть заданы точки и соответствующие этим точкам значения функции . Известно, что секущую можно записать как

.

Коэффициенты находятся из условий

Тогда , и уравнение для нахождения точки пересечения с осью абсцисс имеет вид

.

Отсюда следующее приближение к точке определяется по формуле

.

Пример. Требуется минимизировать функцию на интервале . Найдем первую производную .

Итерация 1.

Шаг 1.

Шаг 2. .

Шаг 3. . Поскольку знак производной в новой точке положителен, отбрасываем интервал и принимаем . Значение производной в новой точке

Итерация 2.

Шаг 2. .

Шаг 3. . Производная опять положительна, поэтому корректируем правый конец интервала. Принимаем .