О методе исследования плоского потока

В настоящей главе рассматривается плоский нерадиальный поток, поддерживаемый в пластле одной или несколькими эксплуатационными и нагнетательными скважинами.

Если нет специальных оговорок, везде предполагается, что пласт - горизонтальный, имеющий всюду одинаковую мощность. Сверху он перекрыт непроницаемой горизонтальной кровлей, а подстилается горизонтальной непроницаемой подошвой. Движение жидкости или газа в пласте подчиняется закону фильтрации Дарси и является установившимся.

Во всех параграфах настоящей главы рассматривается плоское движение жидкости (газа) в пористой среде. Это значит, что изучается движение, происходящее в плоскостях, параллельных между собой и что картина движения во всех плоскостях представляется одинаковой. Будем разбирать движение в одной из этих плоскостей — в основной плоскости течения.

К решению задач настоящей главы мы будем применять принцип суперпозиции (наложения) потоков. Основанный на этом принципе метод суперпозиции заключается в следующем.

При совместном действии в пласте нескольких стоков (источников) потенциальная функция (или давление), определяемая каждым стоком (источником), вычисляется по формуле для единственного стока. Потенциальная функция, обусловленная всеми стоками и источниками, вычисляется путем алгебраического сложения этих независимых друг от друга значений потенциальной функции.

Пусть в неограниченном по протяженности пласте действует одна эксплуатационная скважина (сток) с положительным массовым дебитом М. (Если бы скважина была нагнетательной, она являлась бы источником и её дебит был бы отрицательным). Поток, поддерживаемый стоком с дебитом М,- плоско-радиальный. Потенциальная функция определяется формулой (IV.20):

(VII.1)

где — расстояние между некоторой точкой пласта и центром скважины; С — постоянная.

Допустим, что дебит эта скважина имеет в случае, если она не единственная в пласте, а действует совместно с другой или с не сколькими скважинами того же пласта (эксплуатационными и нагнетательными). Пользуясь методом суперпозиции, найдем выражение потенциальной функции сложного потока так:

(VII.2)

где — выражение функции на контуре скважины за номером j; — расстояние между данной точкой пласта и скважиной за номе ром j; — массовый дебит этой скважины, положительный, если скважина эксплуатационная (сток), и отрицательный, если скважина нагнетательная (источник); n — общее число скважин; С — постоянная.

Если жидкость несжимаемая, формулу (VII.2) можно записать, вводя вместо объёмный дебит :

(VII.3)

Для определения эквипотенциальных линий — изобар заметим, что во всех точках этих кривых значение должно оставаться неизменным; следовательно, уравнение изобар получается, например, из (VII.2) путем приравнивания его правой части некоторой постоянной, и представляется в следующем виде:

(VII.4)

где П — знак произведения; С₁ – постоянная.

Таково уравнение изобар в многополярной системе координат. Если дебит всех скважин как по величине, так и по знаку одинаковый, уравнение изобар записывается проще:

(VII.5)

Линии тока образуют семейство кривых, ортогональных изобарам.

Чтобы вычислить дебиты , воспользуемся граничными условиями: контуры всех скважин и контур питания пласта - изобары, радиусы скважин одинаковы; радиус скважины значительно меньше расстояния между скважинами и расстояния между скважинами и контуром питания пласта. для вычисления дебитов надо составить всего n + 1 уравнений, потому что столько будет неизвестных: n дебитов М и постоянная С_1. Пусть значение на контуре скважины за номером будет значение на контуре питания пласта .

Подставив в уравнение (VII.2) порознь значения на каждой скважине и соответствующие этой скважине значения , получим n уравнений. Подставив значения и на контуре питания, получим еще одно уравнение. Окончательно будем иметь систему (n+ 1) — уравнение с n + 1 неизвестными:

(VII.6)

i

где принимает значения 1, 2, ..., n, а т — расстояния между скважинами за номерами j и ; (VII.6a)

где - расстояние между скважиной за номером j и контуром питания.

Для вычисления массовых дебитов остается решить систему уравнений (VII.6) относительно .

Итак, последовательность вывода формулы дебита следующая.

1. По методу суперпозиции составляется потенциальная функция потока .

2. Устанавливаются граничные условия задачи.

З. В выражение потенциальной функции подставляются порознь значения переменных и на граничных контурах пласта и скважин; составляется таким образом система уравнений с неизвестными массовыми дебитами и постоянной С.

4. Полученная система уравнений решается относительно дебитов .