Вычислить теплоемкость единицы объема кристалла бромистого алюминия

Пример 1. Вычислить теплоемкость единицы объема кристалла бромистого алюминия AlBr₃ по классической теории теплоемкости. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла AlBr₃ массой 10 г на DТ=5К.

РЕШЕНИЕ.

Темплоемкость единицы объема кристалла можно определить по формуле С = С_m/V_m, где С_m и V_m теплоемкость и объем одного моля вещества. Молярная теплоемкость определяется по закону Неймана-Коппа С_m=3nR, где n - число атомов в соединении. Для AlBr₃ n = 4. Объем V_m можно выразить через плотность кристалла V_m = m/r. Масса моля AlBr₃ равна m = 3m_Br + m_Al. Подставим эти выражения в расчетную формулу для теплоемкости

С = 12Rr/(3m_Br+m_Al).

Из таблицы находим плотность этого кристалла r = 3,01 10³кг/м³, m_Br = 80 г/моль; m_Al = 27 г/моль. С учетом этих значений теплоемкость

С =

Теплота DQ, необходимая для нагревания тела от Т₁ до Т₂, может быть вычислена по формуле

поскольку по классической теории молярная теплоемкость не зависит от температуры. Тогда окончательно:

ОТВЕТ:

Пример 2: Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение внутренней энергии одного килоатома кристалла при нагревании его от Т₁ = 0 до Т₂ = 0,1q_Е. Характеристическую температуру Эйнштейна q_Е принять для данного кристалла равной 300 К.

РЕШЕНИЕ.

Внутренняя энергия одного атома кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна может быть определена по формуле:

.

Изменение внутренней энергии:

.

Для низких температур (Т<<q_Е) теплоемкость определяется по формуле:

С_m = 3R(q_Е/T)²exp(-q_Е/T).

Подставим это выражение в выражение для внутренней энергии:

.

Введем новую переменную х = q_Е/Т. Тогда dx = - (q_Е/T²)dT, температура Т₁ соответствует х₁®¥, Т₂ - x₂ = q_Е/0,1q_Е = 10.

Окончательно получим

.

ОТВЕТ: 340 Дж.

Пример 3: Оценить величину термического коэффициента расширения твердого тела, считая, что коэффициент ангармоничности g @ b/2r₀. При оценке принять модуль Юнга Е = 100 ГН/м², межатомное расстояние r₀ = 0,3 нм.

РЕШЕНИЕ.

Теоретически значение термического коэффициента расширения a можно оценить по формуле a = gk_Б/b²r₀. С учетом приближенного равенства g » b/2r₀ формула приобретает вид a » k_Б/2b r₀² . Используя соотношение

b=r₀ Е, окончательно получаем

a » k_Б/(2 Е r₀ ³)= 1,38 10^-23/2 100 10⁹(0,3 10^-9)³ = 2,6 10^-6 К^-1.

ОТВЕТ: 2,6 10^-6 К^-1.