РАЗДЕЛ 5. Динамика решетки

С колебаниями атомов кристаллической решетки связаны многие физические явления в твердых телах - теплоемкость, теплопроводность, термическое расширение, электропроводность и др. В твердом теле атомы при любой температуре, включая 0К, непрерывно совершают колебания около их среднего положения равновесия. При небольших амплитудах такие колебания можно считать гармоническими. С повышением температуры амплитуды и энергии этих колебаний увеличиваются. Так как атомы в твердом теле сильно связаны друг с другом, то возбуждение колебаний одного из атомов передается ближайшим атомам, которые, в свою очередь, передают это возбуждение своим соседям и т.д. Этот процесс подобен процессу распространения звуковых волн в твердом теле. Такое коллективное движение называется нормальным колебанием решетки. Число нормальных колебаний, которое может возникнуть в решетке, равно числу степеней свободы частиц кристалла, т.е. 3N (N- число частиц, образующих кристалл). Все возможные колебания сильно связанных между собой атомов можно представить как совокупность взаимодействующих упругих волн различной длины, распространяющихся по всему объему кристалла. Так как твердое тело ограничено по размерам, то при данной температуре устанавливается стационарное состояние колебаний, представляющее собой суперпозицию стоячих волн. Волна колебаний кристаллической решетки представляет собой повторяющуюся и систематическую последовательность смещений атомов из положений равновесия (продольных, поперечных или некоторых их комбинаций), которая характеризуется следующими параметрами:

- скоростью распространения u;

- длиной волны l или волновым вектором | | = 2p/l;

- частотой n или угловой частотой w = 2pn= u .

Самая короткая длина волны, которая может образовываться в одномерной цепочке атомов, равна удвоенному расстоянию между атомами цепочки:

l_min = 2а.

Ей отвечает максимальная частота, связанная с длиной волны следующим соотношением: . u - скорость распространения волн (звука) в цепочке.

Рассматривая возвращающие силы, действующие на смещенные атомы, можно написать уравнение движения для любого смещения и получить дисперсионное уравнение, связывающее частоту с длиной волны (или угловую частоту и волновой вектор).

С классической точки зрения волна, которая удовлетворяет данному дисперсионному уравнению, может иметь любую амплитуду. Однако, как и квантам электромагнитного излучения и частицам вещества, элементарным квантованным колебаниям решетки свойствен корпускулярно-волновой дуализм. То есть, энергия колебаний решетки, или энергия упругой волны, является квантовой величиной. Квант энергии упругой волны называется фононом. Фононы описываются той же функцией распределения Бозе-Эйнштейна, что и фотоны:

.

В зависимости от степени возбуждения нормального колебания оно может «испускать» то или иное число одинаковых фононов. Распространение волны смещения в твердом теле следует рассматривать как движение одного или многих фононов. При этом каждый фонон переносит энергию e = hn = и импульс . В действительности фонон в решетке не имеет импульса. Только фонон с волновым вектором имеет физически существующий импульс для типа колебания, соответствующего равномерному перемещению системы. Причина того, что фононы в решетке не имеют импульса, заключается в том, что координаты фононов (за исключением фонона с ) выражаются через относительные координаты атомов. Поэтому при рассмотрении поведения фонона вводится понятие квазиимпульса, т.е. рассматривается фонон, как если бы он обладал импульсом. Если в процессе неупругого рассеяния фотона или нейтрона, при котором их волновой вектор изменяется от до , образуется фонон с волновым вектором , то правило отбора для этого процесса запишется так , где - вектор обратной решетки.

Кривые, выражающие зависимость частоты колебаний от волного вектора (длины волны), называются дисперсионными кривыми. Рассматривая колебания в решетке, состоящей из одинаковых атомов, дисперсионный закон запишется таким образом:

, (5.1)

(5.2)     (5.3)

где М - масса атома, С_р - силовая постоянная для плоскостей, находящихся на расстоянии р, а - параметр решетки. При учете взаимодействия только с ближайшими соседями дисперсионное уравнение запишется таким образом:

Знаки плюс и минус отвечают волнам, распространяющимся в противоположных направлениях. В случае, когда ka << 1, sin(ka/2) » ka/2. Тогда w » u₀k , где u₀ = а(М/m)^1/2. Область k-пространства, для которой образует первую зону Бриллюэна. В области больших длин волн или низких частот дисперсия отсутствует, так что фазовая скорость w/k и групповая скорость совпадают и оказываются равными скорости звука u₀ (u₀»5000 м/с). Групповая скорость - это скорость переноса энергии в среде. Из дисперсионного уравнения групповая скорость равна

. (5.4)

На краю зоны Бриллюэна групповая скорость равна нулю (стоячая волна).

Если соседние атомы колеблются практически в одной фазе и при k=0 w_ак = 0, то такие колебания называются акустическими, так как они включают весь спектр звуковых колебаний цепочки. Они играют основную роль в определении тепловых свойств кристаллов – теплоемкости, теплопроводности, термического расширения и т.д. Колебания называются оптическими, когда соседние атомы колеблются в противоположных фазах. Они играют основную роль в процессах взаимодейсивия света с кристаллом.

Если в примитивной ячейке имеются р-атомов, то дисперсионный закон для фононов будет иметь три акустические фононные ветви и (3р-3) оптические фононные ветви. В двухатомном кристалле имеется запрещенный интервал частот между w_т (частота поперечных оптических колебаний) и w_L (частота продольных оптических колебаний) для связанных фонон-фотонных колебаний. Поперечные волны, имеющие частоты, заключенные в этом интервале, не будут распространяться в кристалле.

Связь величин w_L и w_т с диэлектрическими проницаемостями, измеренными на низких и высоких частотах, осуществляется с помощью соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера:

(5.5)

Нули диэлектрической функции e(w) связаны с продольными колебаниями, а полюсы функции - с поперечными колебаниями.

Одним из основных вопросов теории колебаний решетки является вопрос о распределении нормальных колебаний по частотам. Функция, определяющая плотность заполнения спектрального участки dw нормальными колебаниями, называется функцией распределения нормальных колебаний по частотам: . Где V - объем кристалла. Так как общее число нормальных колебаний, которое может возникнуть в решетке, равно 3N, то g(w) должно удовлетворять следующему условию нормировки . Где w_Д - максимальная частота, ограничивающая спектр нормальных колебаний сверху. Она называется характеристической дебаевской частотой и равна .

Температура q_Д = ħw_Д/k_Б называется характеристической температурой Дебая. При температуре Дебая в твердом теле возбуждается весь спектр нормальных колебаний, включая и колебание с максимальной частотой w_Д. Поэтому дальнейшее повышение температуры (выше q_Д) не может уже вызывать появление новых нормальных колебаний. Действие температуры в этом случае сводится лишь к увеличению степени возбуждения каждого нормального колебания, приводящего к возрастанию их средней энергии. Температуры Т > q_Д принято называть высокими.