Метод Крамера решения СЛАУ.

Т. Крамера. Если ∆А≠0, то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам:

; ; .

Здесь ∆=∆А,

; ; .

Замечание. Если , то система является либо неоприделенной, либо несовместной.

Если опредилитель однородной системы , то система сводится либо к двум неизвестным уравнениям(третье является их следствием), либо к одному (следствием которого являются остальные два уравнения). В обоих случиях однородная система имеет бесконечное множество решений.

Практическая часть.

Пример 1. Придумать три матрицы размерности 4 ´ 3 и выполнить действия:

, где l = 3

Решение.

Пусть 7 -8 13 14 31 -18

А = 12 -1 0 В = 11 -3 0

-2 51 4 4 5 -7

-2 9 -10 8 1 0

13 2 5

С = 8 -9 1

0 3 1

2 -4 5

14 31 -18 -6

1) 11 -3 0 = -1 0

4 5 -7

-8 1 0 0

13 2 5 39 6 15

2) lС = 3∙ 8 -9 1 = 24 -27 3

0 3 1 0 9 3

2 -4 5 6 -12 15

7 -8 13 -6 7

3) 12 -1 0 + -1 0 = -2 0

-2 51 4

8 9 10 0 -10

357 7 39 6 15 -82-11 -8

3 3 3 3

4) А + В – С = -2 0 – 24 -27 3 = 25 -3

21585 0 9 3 -2131 -4

3 3 3 3 3 3

1628 -10 6 -12 15 -264 -25

3 3 3 3

Пример 2. Придумать матрицы А М_3×3 ; В М_3×3.

Найти: ВА, АВ, и сделать вывод

Решение.

Пусть .

Найдем произведения ВА и АВ:

Посчитаем определители по правилу Саррюса:

Вывод: 1) АВ ¹ ВА, т.е. для матриц коммутативный закон умножения, вообще говоря, неверен.

2) , т.е. определитель матрицы произведения не зависит от порядка умножения матриц.

Пример 3. Решить неравенство, раскрыв определитель.

3 4 -5

х 7 -2 - 2 > 0

4 5 -2

Решение.

Раскрывая определитель, по правилу Саррюса, получим:

(168 + 5х – 16 + 70 – 6 – 48х) – 2 > 0.

Решим линейное неравенство:

- 43х + 214 > 0,

- 43х > - 214 | : (-43),

Ответ: .

Пример 4. Решите систему методом Крамера

Решение.

.

Т.к. ∆≠0, то система имеет единственное решение.

;

;

.

Итак, по формулам Крамера получаем:

; ; .

Выполним проверку:

Ответ: (-1;0;1)