Весовые функции /л16/.

Естественным методом нейтрализации нежелательных эффектов усечения сигналов во временной области (и любой другой области аргументов) является изменение окна селекции сигнала таким образом, чтобы частотная характеристика окна селекции при свертке как можно меньше искажала спектр сигнала. Что последнее возможно, показывает, например, даже такая простая модификация прямоугольной функции, как уменьшение в два раза значений ее крайних членов. Фурье-образ модифицированной П-функции уже рассматривался нами в составе сглаживающих фильтров МНК 1-го порядка и отличается от обычной П-функции с тем же окном выходом в ноль на частоте Найквиста и несколько меньшей амплитудой осцилляций при небольшом расширении главного максимума. В силу тождественности всех свойств прямого и обратного преобразований Фурье все ниже рассматриваемое действительно и для нейтрализации явлений Гиббса во временной области при усечениях спектров.

Нейтрализация явления Гиббсав частотной области. Рассмотрение продолжим с формулы (3.1.2) при усечении произвольного оператора фильтра h(n) прямоугольным селектирующим окном П_N(n). Период осцилляций суммы усеченного ряда Фурье (3.1.2) равен периоду последнего сохраненного либо первого отброшенного члена ряда. С учетом этого фактора осцилляции частотной характеристики могут быть существенно сглажены путем усреднения по длине периода осцилляций в единицах частоты, т.е. при нормированной свертке с П_r(w) - импульсом, длина которого равна периоду осцилляций r = 2p/(N+1). Эта свертка отобразится во временной области умножением коэффициентов фильтра h(n) на множители, которые являются коэффициентами преобразования Фурье частотной П-образной сглаживающей функции П_r(w):

H'_N(w) = H_N(w) _* П_r(w) ó h_ns_N(n) = h(n)П_N(n)s_N(n),

p(n) = П_N(n)s_N(n) = sinс(pn/(N+1)), |n| £ N. (3.2.1)

Описанная операция носит название сглаживания Ланцоша. Произведение П_N(n)s_N(n) ≡ s_N(n) представляет собой новое весовое окно селекции p(n) взамен прямоугольного окна. Функцию s_N(n) обычно называют временной весовой функцией (окном). Вид и частотная характеристика весового окна Ланцоша в сопоставлении с прямоугольным окном приведены на рис. 3.2.1.

Рис. 3.2.1. Весовая функция Ланцоша.

Как видно на рисунке, частотная характеристика весовой функции Ланцоша по сравнению с П-образной функцией имеет почти в 4 раза меньшую амплитуду осцилляций, но при этом ширина главного максимума увеличилась примерно на 1/4. Отметим, однако, что если амплитуда осцилляций (в единицах амплитуды главного максимума) определяется выбранным типом весовой функции, то ширина главного максимума, которой определяется ширина переходной зоны (вместо скачка функции) зависит от размеров весового окна и соответственно может изменяться под поставленные условия (уменьшаться увеличением размера 2N+1 весового окна).

Весовые функции. В настоящее время известны десятки различных по эффективности весовых функций. В идеальном случае хотелось бы иметь весовую свертывающую функцию с минимальной амплитудой осцилляций, высокую и узкую в главном максимуме, и при этом с минимальными размерами весового окна.

В таблицах 3.2.1 и 3.2.2 приведены формулы и основные спектральные характеристики наиболее распространенных и часто используемых весовых окон. Носители весовых функций, в принципе, являются неограниченными и при использовании в качестве весовых окон действуют только в пределах окна и обнуляются за его пределами (как и в (3.2.1)), что выполняется без дальнейших пояснений. Для упрощения записи формулы приводятся в аналитической, а не в дискретной форме, с временным окном 2t, симметричным относительно нуля (0 t). При переходе к дискретной форме окно 2t заменяется окном 2N+1, а значения t - номерами отсчетов n (t = nDt). Следует заметить, что большинство весовых функций на границах окна (n = N) принимают нулевые или близкие к нулевым значения, т.е. фактическое окно усечения данных занижается на 2 точки. Последнее исключается, если принять 2t = (2N+3)Dt.

Таблица 3.2.1.

Основные весовые функции

Временное окно	Весовая функция	Фурье-образ
Естественное (П)	П(t) = 1, |t|£t; П(t) = 0, |t|>t	П(w) = 2t sinc[wt]
Бартлетта (D)	b(t) = 1-|t|/t	B(w) = t sinc2(wt/2).
Хеннинга, Ганна	p(t) = 0.5[1+cos(pt/t)]	0.5П(w)+0.25П(w+p/t)+0.25П(w-p/t)
Хемминга	p(t) = 0.54+0.46·cos(pt/t)	0.54П(w)+0.23П(w+p/t)+0.23П(w-p/t)
Карре (2-е окно)	p(t) = b(t)·sinc(pt/t)	t·B(w)*П(w), П(w) = 1 при |w|<p/t
Лапласа-Гаусса	p(t) = exp[-b2(t/t)2/2]	[(t/b) exp(-t2w2/(2b2))] * П(w)
Кайзера-Бесселя	p(t) = Jo[x] = [(x/2)k/k!]2	Вычисляется преобразованием Фурье. Jo[x] - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка

Таблица 3.2.2.

Характеристики спектров весовых функций

Рис. 3.2.2. Примеры весовых функций.

Сравнительный вид весовых функций приведен на рис. 3.2.2. Расчет функций проведен с исключением нулевых значений на границах весового окна.

Спектральные окна Бартлетта и Карре не имеют отрицательных выбросов и применяются, в основном, для усечения корреляционных функций. Функция Карре не имеет нулей и представляет собой положительно убывающую функцию. Функции Хеннинга и Хемминга примерно одного класса, функция Хемминга является улучшенным вариантом функции Хеннинга. Частотные образы функций Бартлетта и Хемминга приведены на рис. 3.2.3.

Рис. 3.2.3. Частотные функции весовых окон.

Весовые окна Лапласа и Кайзера - усеченные функции соответственно Гаусса и Бесселя. Степень усечения зависит от параметра b. Характеристики функций, приведенные в таблице 3.2.2, действительны при b=3 для окна Лапласа и b=9 для окна Кайзера. При уменьшении значения b крутизна главного максимума сглаживающих функций увеличивается (ширина пика уменьшается), но платой за это является увеличение амплитуды осцилляций.

Рис. 3.2.4. Частотные функции весовых окон.

Функции Лапласа и Кайзера являются универсальными функциями. По-существу, их можно отнести к числу двупараметровых: размером окна 2t (числом N) может устанавливаться ширина главного максимума, а значением коэффициента b - относительная величина осцилляций на частотной характеристике весовых функций, причем вплоть до осцилляций П-окна при b=0. Это обусловило их широкое использование, особенно при синтезе операторов фильтров.

Попутно заметим, что достаточно гладкие частотные характеристики весовых функций позволяют использовать их в качестве сглаживающих (низкочастотных НЦФ).

(!!!КР5- Разработка методики расчета специальных весовых функций типа П-окна с гауссовской концовкой)

(!!!КР6-Использование весовых функций в качестве сглаживающих)