Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.
Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz и пусть M(x, y, z) – произвольная точка. Опустим перпендикуляр MMo на плоскость Oxy. Тогда, очевидно, ½MMo½= z. Обозначим r =½OM½, y =Ð MoOM ; при этом, если z >0, то считаем, что y >0, а если z <0, то y <0. Пусть (r, j) – полярные координаты точки Mo на
плоскости. Тогда тройка (r, j, y) называется сферическими координатами точки M, а тройка (r, j, z) – ее цилиндрическими координатами. Очевидно, что 0 £ r < +¥, –p/2 £ y £ p/2 . Если y = ± p/2, то точка M лежит на оси Oz, Mo= O и тогда j считается неопределенным.
Найдем формулы, которые связывают декартовы, сферичес-кие и цилиндрические координаты
точки M. Из DOMMo находим, что
r = r×cosy , r = ,
z = r×siny . (15) y = arcsin (15¢)
Эти формулы можно рассматривать, как переход от сферических координат к цилиндрическим и обратно; а j у этих систем координат общее. Формулы (14) и (14¢ ) можно рассматривать, как переход от цилиндрических координат к декартовым, и обратно. Подставляя (15) в (14) получаем формулы перехода от сферических координат к декартовым, а подставляя (14¢ ) в (15¢) получаем формулы перехода от декартовых координат к сферическим:
x = r cos j×cosy , r = ,
y = r sin j×cosy , (16) j = ± arccos , (16¢)
z = r×siny . y = arcsin( z /r) .
Во второй формуле из (16¢) знак выбирается в соответствии со знаком y.
Сферические координаты можно использовать для введения внутренних координат на сфере. Если начало координат поместить в центр сферы радиуса r, то j и y будут играть роль географических долготы и широты точки M, лежащей на сфере; пишем M(j, y). Точно также цилиндрические координаты позволяют ввести внутренние координаты на поверхности цилиндра. Если начало координат разместить на оси цилиндра радиуса r, то j и z будут координатами точки M, лежащей на поверхности цилиндра; пишем M(j, z).
Ни в коем случае не следует путать сферические и цилиндрические координаты в пространстве с внутренними координатами на сфере и цилиндрической поверхности. Очень распространена на экзамене ошибка, когда вместо первого рисунка в этом параграфе рисуют второй и третий.
Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 908;