Предел последовательности и его свойства

Функция называется целочисленной или последовательностью, если область определения функции представляет собой множество натуральных чисел.

þ Обозначения: Последовательности обозначаются как {an}, {yn}, члены последовательности как – an, yn.

Число b называется пределом последовательности {yn}, если по мере возрастания n член yn неограниченно приближается к значению b:

.

Символ lim от латинского слово «limes» - предел; символ n ® ¥ подчеркивает, что n неограниченно возрастает («стремится к бесконечности»).

! Примеры: Члены последовательности по мере возрастания n стремятся к нулю: y1 = 1; y2 = 0,5; y3 = 0,33¼; y4 = 0,25; ¼; y100 = 0,01; ¼; y1000 = 0,001; ¼ Следовательно, пределом последовательности является число 0:

. (1)

! Пример: Члены последовательности по мере возрастания n стремятся к нулю, поэтому . (2)

! Пример: Предел постоянной величины c равен самой постоянной величине c (3).

Более строгое определение предела следующее.

Число b называется пределом последовательности {yn}, если абсолютная величина разности yn b, начиная с некоторого номера N, остается меньшей любого заранее данного положительного числа e: |yn b| < e при n ³ N (N зависит от величины e).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае, она расходящаяся.

Свойства пределов

1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: .

2. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов: .

3. Предел произведения равен произведению пределов: .

4. Предел отношения равен отношению пределов: , если .

Эти свойства справедливы не только для последовательностей, но и для функций y(x).

@ Задача 1. Найти предел последовательности .

Решение: Предел последовательности находится, применяя второе свойство пределов и частные пределы (2) и (3):

.






Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 1350; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2021 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.