Предел последовательности и его свойства

.

Символ lim от латинского слово «limes» - предел; символ n ® ¥ подчеркивает, что n неограниченно возрастает («стремится к бесконечности»).

! Примеры: Члены последовательности по мере возрастания n стремятся к нулю: y₁ = 1; y₂ = 0,5; y₃ = 0,33¼; y₄ = 0,25; ¼; y₁₀₀ = 0,01; ¼; y₁₀₀₀ = 0,001; ¼ Следовательно, пределом последовательности является число 0:

. (1)

! Пример: Члены последовательности по мере возрастания n стремятся к нулю, поэтому . (2)

! Пример: Предел постоянной величины c равен самой постоянной величине c (3).

Более строгое определение предела следующее.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае, она расходящаяся.

Свойства пределов

1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: .

2. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов: .

3. Предел произведения равен произведению пределов: .

4. Предел отношения равен отношению пределов: , если .

Эти свойства справедливы не только для последовательностей, но и для функций y(x).

@ Задача 1. Найти предел последовательности .

Решение: Предел последовательности находится, применяя второе свойство пределов и частные пределы (2) и (3):

.