Важіль М. Є. Жуковського

У тому разі, коли нема потреби робити повний силовий розрахунок механізму, в результаті якого визначаються реакції в кінематичних парах (на­приклад, розрахунок потужності двигуна), задача зводиться тільки до визна­чення зрівноважувальної сили або зрівноважувального моменту, який прикла­дають до початкової ланки. Реакції в кінематичних парах можуть залишатися невідомими, як внутрішні сили для всього механізму в цілому. У таких випад­ках для знаходження зрівноважувальної сили користуються методом (прави­лом) так званого ,,жорсткого" важеля М. Є. Жуковського. Правило М.Є. Жу­ковського ґрунтується на використанні принципу можливих переміщень, згідно з яким, якщо на будь-яку механічну систему діє ряд сил, то, приєдна­вши до заданих сил сили інерції і надавиш всій системі можливих для да­ного її положення переміщень, дістанемо ряд елементарних робіт, сума яких дорівнює нулю.

Рис. 4.8. До виводу правила важеля М. Є. Жуковського

Така геометрична інтерпретація принципу можливих переміщень дуже зручна для розв'язування задач динаміки механізмів. Метод цей дістав назву методу М.Є.Жуковського за ім'ям великого російського ме­ханіка, який його запропонував, а важіль, яким користуються в цьому ме­тоді, названо важелем Жуковського.

Метод Жуковського можна за­стосувати для знаходження величини будь-якої сили, якщо точку прикла­дання і напрямок цієї сили задано, а також задано значення, напрямки і точка прикладання всіх інших сил. Справді, у цьому випадку в рівнянні (4.15) буде тільки одне невідоме значення шуканої сили, яка з нього визначається.

Якщо на ланки механізму, крім сил F_i, діють ще пара сил, моментом, яких є М_i, то при використанні правила Жуковського кожний момент М_i, (рис. 4.9) розкладають на пару сил F які прикладають у дві точки, наприклад А і В.

Величину й напрямок кожної сили F_i' визначають за умови, що М_і – F_i'І_i, де F_i' = М_і / l_і, l_i; - плече сил F_i', що дорівнює в нашому випадку (рис. 4.9) довжині ланки АB (l_i= l_АB). При цьому напрямок моменту пари сил F_i' повинен збігаються з напрямком моменту М_i, Треба мати на увазі, що напрямок цього моменту сил F на важелі Жуковського може не збігатися з напрямком моменту М_i, на схемі механізму. Це буває тоді, коли положення букв А і В на ланці та на плані швидкостей (а і b ) не збігаються.

Розглянемо приклад визначення зрівноважувальної сили F_зр за до­помогою правила важеля Жуковського.

Рис. 4.9. Заміна моменту сил парою сил

Приклад 4.2 Нехай буде задана кінематична схема кривошипно-повзунного механізму (рис. 4.10, а), на ланки якого діють сили F₁,F₂,F₃,момент сил М₂ швидкість обертання кривошипа ОА w₁. Зрівноважувальну силу прикласти до кривошипа ОА у точці А і направити пер­пендикулярно до лінії О А.

Рис. 4.10. Визначення зрівноважувальної сили за допомогою правила важеля Жуковського:

а) розрахункова схема; б) важіль Жуковського

Розв'язання. Будуємо для заданого положення механізму поверну­тий на 90 проти миттєвого обертання кривошипа w₁, план швидкостей (рис. 4.10, б), в відповідних точках якого прикладаємо сили F₁,F₂,F₃,F_зр;момент М₂ розкладаємо на пару сил F₂ = М₂/l_АВ (на рис. 4.І0, а сили F₂ показані штриховою лінією), які прикладаємо відповідно у точках а і b перпендикулярно до АВ (аb II АВ).

Враховуючи, що під дією цих сил, включаючи зрівноважувальну силу, механізм знаходиться у рівновазі, можна записати таке рівняння мо­ментів сил, що прикладені до повернутого плану швидкостей, який умовно приймаємо жорстким важелем:

де h_i - плечі відповідних сил відносно полюса повернутого плану швид­костей, мм.

Напрямок вектора зрівноважувальної сили F_зр вибрано правильно, якщо після числового розрахунку (4.16) одержимо F_зр із знаком плюс і, навпаки, якщо знак буде мінус, то треба змінити напрямок вектора сили F_зр на протилежний. Викладений метод є загальним для механізмів будь-якого класу.

При динамічному дослідженні руху механізмів зручно всі сили, що діють на різні ланки механізму, замінити однією силою або моментом сил, які прикладають до однієї з ланок механізму. Таку силу, що замінює всі інші си­ли, називають зведеною силою, а момент сили - зведеним моментом. Для то­го щоб така заміна була еквівалентною, необхідно, щоб робота зведеної сили (моменту сили) на деякому можливому переміщенні її точок прикладання або потужність, яку вона розвиває, має відповідно дорівнювати сумі робіт, прикладених до механізму сил на тому самому переміщенні їх то­чок прикладання, або сумі потужностей, що розвиваються цими силами. Це і є умовою зведення сил або моментів сил.

Ланку механізму, до якої прикладають зведену силу, називають лап­кою зведення, а точку їх прикладання - точкою зведення. Якщо механізм має один ступінь вільності, то для вивчення його руху досить знати закон руху однієї з його ланок, тобто знати закон зміни узагальненої координати

Як правило, ланкою зведення обирають початкову ланку механіз­му. У робочих машинах ланкою зведення обирають головний вал, у машинах-двигунах - вихідний вал. Тоді замість того, щоб розглянути всі ланки механізму чи машини, можна розглянути тільки одну ланку, наприклад кривошип О А (рис. 4.11), узагальнена координата якого - кут ,.

Для визначення зведених сил зручно використовувати рівність потужностей

У цій рівності Р_зв - потуж­ність, яку розвиває зведена сила F_зв або зведений момент М_зв; Р_i - по­тужність, що розвивають сили та моменти пар сил, які прикладені до i-ої ланки та мають бути зведені (і = 1,2,3,..., п). Ці потужності можна записати в такому вигляді:

З рівнянь (4.19) видно, що при заданих силах F_і і моментах М_і визначення зведеної сили F_зв або зведеного моменту М_зв не становить значних труднощів і може бути зроблене, якщо для всіх положень, які досліджуються, визначені швидкості ланок механізму.

Для визначення F_зв і М_зв за формулами (4.19) необов'язково знати

справжні швидкості точок і ланок, тому що вони входять у вигляді відношен­ня двох швидкостей, які не залежить від величини швидкості руху механізму, а тільки від положень його ланок і можуть бути подані через відповідні відрізки плану швидкостей. Цей план можна будувати для довільно вибраної куто­вої швидкості ланки зведення, тобто в невизначеному масштабі.

Цілком очевидно, що між зведеною силою і зведеним моментом сил існує такий зв'язок:

Ряс. 4.12. До визначення зведеної сили: а) розрахункова схема; б) план швидкостей

Приклад 4.3. На ланки кривошипно-повзунного механізму (рис. 4.12, а) діють сили F₁F₂,F₃ і момент сил М₂.Визначити зведений момент сил, який прикласти до кривошипа 1. План швидкостей механізму наведено на рис. 4.12, б.

Розв'язання. Для розв'язання цієї задачі використовуємо рівність потужностей (4.17). У нашому випадку

де Р_1,Р₂,Р₃ - потужності, які розвивають сили, що прикладені відповідно до ланок 1, 2, 3:

P₁ = (4.21)