Закон распределения функции случайного аргумента

В предыдущем параграфе отмечено, что по известному закону распределения аргумента всегда можно найти закон распределения функции. Остановимся на этом подробнее.

Пусть случайные величины h и связаны функциональной зависимостью и пусть - известная плотность распределения случайной величины , а - искомая плотность распределения случайной величины h. Запишем сначала условную плотность распределения случайной величины h относительно . Поскольку при всяком возможном значении x случайной величины случайная величина h принимает единственное значение y с вероятностью 1, то очевидно

(1)

где d (x) – дельта-функция. Тогда совместная плотность распределения величин и h запишется так (см. (4) §15):

А плотность распределения случайной величины h определяется формулой

(2)

(см. (4) §14).

Формула (2) является общей формулой, определяющей закон распределения функции, если известен закон распределения ее аргумента. Она справедлива и в том случае, когда случайный вектор, т.е. функция y = j (x), является функцией n переменных. В этом случае под dx следует понимать dx₁, dx₂,¼, dx_n, а интеграл (2) считать n – кратным.

Пример 1.Найти плотность распределения случайной величины если равномерно распределена на отрезке

Решение.Поскольку распределена равномерно, то

Воспользуемся формулой (2).

В интеграле сделаем замену Тогда и Учитывая это и свойство d - функции (см. §2 гл.4), получим

Пример 2.Найти плотность распределения произведения случайных величин если плотность f(x,y) двумерной случайной величины ( ,h) известна.

Решение.Воспользуемся формулой (2). Получим