Понятие производной функции в точке

Содержание учебного материала.

1. Приращение аргумента и приращение функции.

2. Введение понятия производной (задача о скорости).

3. Алгоритм вычисления производной.

4. Табличные производные.

5. Контрпример.

6. Геометрический смысл производной.

7. Уравнение касательной.

2. Введение понятия производной.

Задача. Материальная точка движется по закону где S –путь в метрах, t – время в секундах. Найдите

1) среднюю скорость, если ; мгновенную скорость, если t = 3;

2) среднюю скорость, если , мгновенную скорость, если t = t₀.

Решение

1) (м/с).

.

2)

По аналогии введём понятие средней и мгновенной скорости изменения функции. Пусть дана функция , определённая в окрестности точки и Dх – приращение такое, что принадлежит области определения функции f. Тогда средняя скорость изменения функции равна отношению приращения функции к приращению аргумента, а мгновенная скорость – пределу этого отношения при Dх стремящемся к 0.

Если предел существует, то мгновенная скорость - это скорость изменения функции в точке . По другому она называется производной функции f в точке . Обозначение:

Таким образом, =

Алгоритм нахождения производной функции f в точке х₀.

1. Придаём приращение аргументу:

2. Находим приращение функции6

3. Находим отношение приращений: =

4. Находим предел отношения приращений:

По определению выводим производные функций

Составляем таблицу.

f(x)	c	kx+b	xn, nÎN, n¹1		1/x
f¢(x)		k	nxn-1	1/2	-1/x2

В дальнейшем таблица будет дополнена производными тригонометрических, показательной и логарифмических функций.

Кроме табличных производных, учащиеся пользуются правилами нахождения производной суммы, произведения, дроби, а также производной сложной функции.

Целесообразно рассмотреть пример функции , которая в точке 0 не имеет производной, так как не существует (рис.9)

Следует также обратить внимание учащихся на то, что график в этой точке терпит «излом» (рис. 10).

При выводе правила вычисления производной произведения устанавливается взаимосвязь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке. Приводится лемма: если функция f дифференцируема в точке х₀ , то она непрерывна в этой точке. Обратная теорема неверна. Показать, что обратная теорема неверна можно посредством приведённого примера: функция у = непрерывна, но не дифференцируема в точке 0.

Реализуя алгоритм нахождения производной на графике функции, учащиеся приходят к выводу, что значение производной в точке с абсциссой х₀ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведённой через эту точку.

tgj =