Понятие непрерывности функции в точке
Понятие непрерывности функции в точке, а затем на промежутке Х рассматривается в связи с тем, что именно для таких функций изучаются правила нахождения промежутков монотонности, точек экстремума, наибольшего и наименьшего значений.
Рассмотрим один из возможных подходов к введению понятия функции, непрерывной в точке.
Учащимся предлагаются графики функций (с. 2), и задаётся вопрос: «На каких рисунках данные функции непрерывны в указанных точках, то есть графики каких функций могут быть построены, не отрывая карандаша»?
Ответ: 1, 5, 6.
Чтобы выявить, какими свойствами обладают указанные функции и не обладают остальные, ответим на следующие вопросы.
1, Определена ли данная функция в указанной точке?
2. Имеет ли она предел в этой точке?
3. Равен ли предел значению?
Делаем выводы.
Вводим определение. Функция называется непрерывной в точке х0, если верно равенство
Замечание. Говоря о непрерывности функции в точке, будем рассматривать только внутренние точки области определения, так как понятие предела функции также было рассмотрено только для внутренних точек области определения. Например, на рис. 6 х = 0 не является внутренней точкой. Поэтому мы не будем рассматривать непрерывность функции в этой точке.
1) , х = 1. 2) 3)
4) 5) 6)
Далее учащимся могут быть предложены графики функций, для которых следует ответить на вопрос: «Какое условие определения непрерывности функции в точке не выполнено на рис. 2 - 4?»
Ценность введённого определения состоит в том, что оно подменяет вычисление предела функции в точке вычислением её значения.
В учебнике Мордковича А.Г. приводится утверждение «если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических . . . выражений, то функция у = f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f(x)» со ссылкой на то, что математики доказали.
Пример 1.
Вычислить: . Ответ: 7.
Пример 2.
Вычислить: .
Пример 3.
Вернёмся к примеру 2, который мы использовали при введение предела функции в точке. По графику очевидно, что
Вычислить: .
Наконец определим функцию, непрерывную на промежутке Х.
Функцию называют непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 1002;